当たりをつけて効率よく絞り込みましょう

【算数問題63】19と13で割り切れる五桁の数字

ある五桁の数字があって、千、百、十の位をそれぞれ A, B, C で表すと 1ABC7 となります。また、この数字は 19 と 13 で割り切れることがわかっています。A, B, C の値を求めてください。ただし A > B > C とします。
　
【ヒント】これは算数の基本問題ですが 当たりをつけて絞り込む という作業が必要です。なるべく効率よく絞り込んでいきましょう。
　
【解答63】19 と 13 で割り切れるので、求める五桁の数字は 19 × 13 = 247 の公倍数です。つまり 247 に何かの数字をかけて 1ABC7 のようになればいいので、その数字の末位は 1 か 3 であることがわかります（筆算したときに 7 にかけて 7 が現れる一桁の数字は 1 だけです）。ようするに

11, 21, 31, 41, 51, 61, ...

のような数字だということです。
 
しかし 11 から順次確かめるのは、あまりに効率が悪いので、概算して範囲を絞り込むことにします。求める五桁の数字は最小で 12107, 最大で 19877 です。つまり 12000 から 20000 ぐらいの値です。最小公倍数 247 はおおよそ 250 ですから、これに

10, 20, 30, 40, 50, 60, ...

を掛けてみるとどうなるか考えます。250 に 40 を掛けるとちょうど 10000, 80 を掛けると 20000 になることに着目します。50, 60, 70 は答えの候補になります。80 は上限ぎりぎりのところなので、これも先に確認しておきましょう。

247 × 81 = 20007

となって 20000 を超えます。ということで答えは

247 × 51, 247 × 61, 247 × 71

のうちのどれかということになります。それぞれ計算してみると

247 × 51 = 12597
247 × 61 = 15097
247 × 71 = 17537

となるので、A > B > C という条件を満たすのは 17537 だけです。よって答えは

A = 7, B = 5, C = 3

となります。