xsin(1/x)の極限値

【CL05】xsin(1/x)の極限値

次の極限値を求めてください。
 \[\displaystyle(1)\;\lim_{x\rightarrow\infty}x\sin\frac{1}{x}\qquad (2)\;\lim_{x\rightarrow 0}x\sin\frac{1}{x}\]
【ヒント】xsin(1/x)の極限値を求める問題です。有名な問題なので、もしかすると教科書にも載っていたりするかもしれません。三角関数に関する極限公式は必須です。(2) は「○○○○○の原理」に持ち込む必要があります。
　
【解答】(1) $1/x=t$ とおくと、$x\rightarrow 0$ のとき $t\rightarrow 0$ となるので、最後に $\sin{x}/x$ についての極限公式を使うと
 \[\lim_{x\rightarrow\infty}x\sin\frac{1}{x}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\sin t}{t}=1\]
となります。

(2) 三角関数の基本性質として、任意の実数 $x$ に対して
 \[0\leq\left|\,\sin\frac{1}{x}\right|\leq 1\]
が成り立ちます。両辺に $|x|$ をかけると、
 \[0\leq\left|\,x\sin\frac{1}{x}\right|\leq|x|\]
が成り立ちます。はさみ打ちの原理によって
 \[0\leq\lim_{x\rightarrow 0}\left|\, x\sin\frac{1}{x}\right|\leq \lim_{x\rightarrow 0}|x|=0\]
となるので、
 \[\lim_{x\rightarrow 0}x\sin\frac{1}{x}=0\]
となります。