数学公式集 関数の増減（極大値と極小値の判定法）
単調増加と単調減少関数 $f(x)$ が区間 $$ で微分可能、$(a,\:b)$ で $f'(x) \gt 0$ であるとします。このとき 平均値の定理 によって \ となる $c$ が存在しますが、$b=a+\Delta x$ とおくと...
あとりえこばと
数学公式集 数学演習と解答 直円錐の体積が最大となる高さと底面半径の比
【CL22】直円錐の体積が最大になるような高さと底面半径の比表面積が一定の直円錐の体積を最大にするように、高さと底面の半径の比を定めてください。 【ヒント】簡単そうに見えて案外手こずる問題です。「何をするか」で迷うことはあまりないはずです。...
数学演習と解答 直円柱の表面積を最小にする直径と高さの比率
【CL21】円柱の表面積を最小にする直径と高さの比率直円柱の体積を一定に保つとき、その表面積が最小となるような直径と高さの比率を求めてください。 【ヒント】缶詰もこういう設計にすれば材料コストを抑えられます。だからといって市販の缶詰が全部こ...
数学公式集 ロルの定理と平均値の定理
この記事では、最初にロルの定理を証明し、そこから平均値の定理、コーシーの平均値の定理といった、より汎用性の高い定理を示していきます。 ロルの定理【ロルの定理】関数 $f(x)$ が $a \leq x \leq b$ で連続、$a \lt ...
数学公式集 ネイピア数eが無理数であることの証明
ネイピア数の定義と計算方法ネイピア数（Napier's number） は次のように定義されます。 \ $a_n=(1+1/n)$ に $n$ の具体的な値を入れると \a_{100}=2.70481\\a_{1000}=2.71692\\...
数学公式集 アルキメデスの原理
アルキメデスの原理（Archimedean Property）上に有界な単調増加数列が収束するという定理から次のアルキメデスの原理を導くことができます。 任意の正の実数 $a,\:b$ について、$na\gt b$ を満たす自然数 $n$ ...
数学よもやま話 πには世界のあらゆる情報が記述されている？
πには世界の情報が詰まってる？円周率πは「3.14159265358979323...」というように無限に続く数です。無理数なので小数部分が循環することもありません。世の中にはこれを何万桁も暗記しているような人が存在するから驚きですよね。 ...
数学よもやま話 【実無限と可能無限】無限の実在について論じます
今回も無限の不思議についてあれこれ考えてみます。 無限を表す ∞ という記号自体は高校の数学Ⅲで初めて登場します。 しかし、無限の概念そのものはそれよりもずっと前の段階、小学校１年生の算数でかぞえ方を学んだ時にすでに出会っているのです。 \...