伝染理論と伝染曲線

【DE06】伝染曲線 (感染者の増加率)

人口 $N$ 人の都市で伝染病が発生したとします。ある時刻において、まだ感染していない人の数を $x(t)$ とし、未感染者が感染者が接触した時に伝染がおこるとします。すなわち単位時間当たりの感染者の増加数は $x(N-x)$ に比例すると考えます。ただし $t=0$ における感染者は 1 名とします。このようなモデルにおいて、
(1) 未感染者の数 $x(t)$ を求めてください。
(2) ある時刻における感染者の増加率 $v(t)=-dx/dt$ のグラフ（伝染曲線）を描いてください。

【ヒント】(1) は微分方程式を立てて解く問題。(2) は極値を調べてグラフ (伝染曲線) を描く問題です。増加率 $v(t)$ の微分は、小問 (1) で立てた微分方程式を利用するととても楽になります。また、実際にグラフを描く前に、状況から概形を予想してみてください。
　
【解答】$k$ を定数とすると感染者の増加率は
 $$kx(N-x)$$
ですが、求めたいのは未感染者の数なので符号を反転させて
 $$\begin{array}{}\text{(A)}& \frac{dx}{dt}=kx(x-N)\end{array}$$
と表せます。変数分離すると
 $$\frac{dx}{x(x-N)}=kdt$$
左辺の分数を分解すると
 $$(\frac{1}{x-N}-\frac{1}{x})dx=Nkdt$$
積分すると
 $$\log \left|\frac{x-N}{x}\right|=Nkt$$
$A=\pm e^c$ とおくと
 $$x=\frac{N}{1-A{e}^{Nkt}}$$
$t=0$ で「未感染者の数」は $x=N-1$ なので、上の式に代入して定数 $A$ を求めると
 $$A=\frac{1}{1-N}$$
となります。よって未感染者の数
 $$\begin{array}{}\text{(A1)}& x(t)=\frac{N(N-1)}{N-1+e^{Nkt}}\end{array}$$
が得られます。

(2) 時刻 $t=0$ から感染者の増加率は徐々に増して、ある一定のピークを迎えたのち、今度は減少に転じて最後は 0 になるはずです（全員が感染したら増加率は 0 になるはずです）。したがって $v(t)$ はある時刻 $t=t_m$ で極大値を１つもち、$t\to \mathrm{\infty }$ で 0 に収束するような関数であると予測できます。実際に確かめてみましょう。
 $$\begin{array}{}\text{(B)}& v(t)=-\frac{dx}{dt}=-kx(x-N)\end{array}$$
に (A1) を代入すると
 $$\begin{array}{}\text{(B1)}& v(t)=\frac{k{N}^2(N-1)e^{Nkt}}{N-1+e^{Nkt}}\end{array}$$
となります。状況から考えても、またこの関数の形からも常に $v(t)>0$ であることがわかります。さて極値を求めるために $v(t)$ を微分しますが、それには (B) の表式を用いると簡単です。すなわち
 $$\frac{dv}{dt}=-k{x}^{\prime }(x-N)-kx{x}^{\prime }=k{x}^{\prime }(N-2x)=-v(t)(N-2x)$$
となります。$v(t)>0$ なので、$v^{\prime }(t)=0$ となるのは $x=N/2$ のときです。これを先ほどの
 $$\begin{array}{}\text{(A1)}& x(t)=\frac{N(N-1)}{N-1+e^{Nkt}}\end{array}$$
に入れると極値をとる時刻 $t_m$ が求まります。
 $$t_m=\frac{\log (N-1)}{Nk}$$
(B1) に代入すると極値が求まります。
 $$v(t_m)=\frac{k{N}^2}{4}>0$$
$t\to \pm \mathrm{\infty }$ で $v(t)=0$ となること、常に $v(t)>0$ であること、また極値 $v(t_m)$ も正であることから、$v(t_m)$ は極大値であることがわかります。グラフの概形は下の図のようになります。
 

【DE07】非線形方程式

微分方程式 $x{y}^{\prime }-y+x{e}^x{y}^3=0$ を解いてください。
 
【ヒント】非線形方程式ですが、上手く変数変換すると線形方程式に帰着できます。詳しくは ベルヌーイの微分方程式の頁を参照してください。

【解答】与えられた方程式
 $$\begin{array}{}\text{(A)}& x{y}^{\prime }-y+x{e}^x{y}^3=0\end{array}$$
の両辺を $y^3$ で割ります。
 $$x\frac{y^{\prime }}{y^3}-\frac{1}{y^2}+x{e}^x=0$$
$(y-2{)}^{\prime }=-2y^{\prime }{y}^{-3}$ なので
 $$\frac{x}{2}+\left(\frac{1}{y^2}\right)=x{e}^x$$
ここで $z=1/y^2$ とおくと
 $$\begin{array}{}\text{(A1)}& x{z}^{\prime }+2z=2x{e}^x\end{array}$$
という方程式になります。右辺を 0 とおいた斉次方程式
 $$x{w}^{\prime }+2w=0$$
を変数分離すると
 $$\frac{dw}{w}=-2\frac{dx}{x}$$
両辺を積分すると
 $$\log |w|=-\log x^2+c$$
$A=\pm e^c$ とおくと
 $$w=\frac{A}{x^2}$$
という斉次解を得ます。そこで $z=a(x)/x^2$ とおいて先ほどの
 $$\begin{array}{}\text{(A1)}& x{z}^{\prime }+2z=2x{e}^x\end{array}$$
に代入すると $a(x)$ に関する方程式
 $$a^{\prime }(x)=2x^2{e}^x$$
が得られます。積分公式
 $$\int f(x)e^{x}dx=\{f(x)-f^{\prime }(x)+f^{\prime \prime }(x)-\cdots \}{e}^x$$
と用いて積分すると
 $$a(x)=(2x^2-4x+4)e^x+c$$
となるので、
 $$z=\frac{(2x^2-4x+4)e^x+c}{x^2}$$
となります。よって
 $$y^2=\frac{x^2}{(2x^2-4x+4)e^x+c}$$
という一般解を得ます。