不動直線（一次変換によって自身に移される関数）

【CL15】不動直線

曲線 $y=f(x)$ 上の任意の点における接線が一次変換
$$\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$によって、それ自身に移されるような関数 $f(x)$ を求めてください。
 
【ヒント】新課程では消えてしまった一次変換ですけど、
 $$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}ax+by\\ cx+dy\end{array}\right)$$
という行列の計算規則を踏まえれば、この問題は解けます。

【解答】一次変換によって移される前の点がみたす曲線上の点 $(\alpha ,f(\alpha ))$ における接線の方程式は
 $$\begin{array}{}\text{(2)}& y-f(\alpha )=f^{\prime }(\alpha )(x-\alpha )\end{array}$$
となります。次に移される前の点 $(x,y)$ が、移されたあとの点 $(X,Y)$ によってどのように表されるか調べます。

つまり問題で与えられた変換とは逆順に $(X,Y)$ から $(x,y)$ への変換がどのような形になっているかをみるのです。ここでは逆行列を用いますが、そうした手法を知らない場合でも問題で与えられた一次変換式 (1) から $X=F(x,y)$ と $Y=G(x,y)$ を解いて $x=f(X,Y),y=g(X,Y)$ を得ることができます。

式 (1) の両辺に左側から逆行列をかけて
 $$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}X-Y/3\\ Y/3\end{array}\right)$$
となるので、これを式 (2) に代入して整理すると
 $$\begin{array}{}\text{(3)}& \frac{1}{3}(1+f^{\prime }(\alpha ))Y-f(\alpha )=f^{\prime }(\alpha )(X-\alpha )\end{array}$$
という方程式を得ることができます。ところで $X,Y$ もまた曲線 $y=f(x)$ 上の接線の上にあるので、式 (2) と同じ形になっていなくてはなりません。そこで (2) の $y$ の係数と (3) の $Y$ の係数を比較すると
 $$\frac{1}{3}(1+f^{\prime }(\alpha ))=1$$
となるので $f^{\prime }(\alpha )=2$ となります。改めて $\alpha$ を $x$ で置き換えると、$f^{\prime }(x)=2$ となり、これを積分して
 $$f(x)=2x+C$$
を得ることができます ($C$ は積分定数)。