巡回数（ダイヤル数）

不思議な巡回数（ダイヤル数）

142857 は不思議な数です。
この数を順に整数倍していくと
 \[\begin{align*}142857\times 1=142857\\[6pt]142857\times 2=285714\\[6pt]142857\times 3=428571\\[6pt]142857\times 4=571428\\[6pt]142857\times 5=714285\\[6pt]142857\times 6=857142\end{align*}\]
というように、各桁の数が順序を崩さずにぐるぐると巡回（ダイヤル）させた数になっているのです。このような数を巡回数 (cyclic number) といいます。次に $7$ を掛けてみると
 \[142857\times 7=999999\]
あれ？　$9$ が並びました。巡回していませんね。
$1$ 倍から $6$ 倍までの結果が単なる偶然の産物だったのでしょうか？
決してそんなことはありません。再び $8,\:9,\:10,\:\cdots$ を掛けてみると
 \[\begin{align*}142857\times 8=1142856\\[6pt]142857\times 9=1285713\\[6pt]142857\times 10=1428570\\[6pt]142857\times 11=1571427\\[6pt]142857\times 12=1714284\\[6pt]142857\times 13=1857141\end{align*}\]
微妙に規則性が崩れているように思えますが、先頭の $1$ を取り除いて末尾の数に加えてみると
 \[\begin{align*}142857\\[6pt]285714\\[6pt]428571\\[6pt]571428\\[6pt]714285\\[6pt]857142\end{align*}\]
というように、ちゃんと巡回しています。でも $14$ をかけると
 \[142857\times 14=1999998\]
先頭の数を取り除いて、末尾に加えると
 \[999999\]
再び $9$ が並びました。
もっと大きな数で試してみましょう。
皆さんも電卓やエクセルで確認してみてください。
 \[\begin{align*}142857\times 158=22571406\\[6pt]142857\times 159=22714263\\[6pt]142857\times 160=22857120\end{align*}\]
今度は左から 2 桁の数を末尾に加えると
 \[\begin{align*}571428\\[6pt]714285\\[6pt]857142\end{align*}\]
となっています。この巡回はずっと続きます。ただし、$7$ の倍数を乗じたときだけ、$9$ が並びます。その理由は $142857$ という数字が、$1$ を $7$ で割ったときの数
 \[1\div{7}=0.142857142857142857\cdots\]
のような循環小数部分となっているからです。この数字に $7$ を掛けてみると
 \[0.999999999999999999\cdots\]
となります。小数点以下に $9$ が無限に続いているので、これは $1$ と同じことです。つまり
 \[(1\div{7})\times{7}=0.999999999999999999\cdots = 1\]
となって辻褄が合っていますね。

え？　何か騙された気がする？
$0.999999999999999999\cdots$ は $1$ ではない？
いえ、本当なんです。これが解析学（微分積分学）で用いられる「極限」という概念です。
 
ところで、この巡回数、素数と深い関係があります。巡回数 $1/p$ の分母 $p$ は素数 $7,\:17,\:29,\:23,\:29,\:47\:\cdots$ などの素数となっています（すべての素数が巡回数の分母となるわけではありません）。不思議ですね。