巡回数（ダイヤル数）

不思議な巡回数（ダイヤル数）

142857 は不思議な数です。
この数を順に整数倍していくと
 $$\begin{array}{r}142857\times 1=142857\\ 142857\times 2=285714\\ 142857\times 3=428571\\ 142857\times 4=571428\\ 142857\times 5=714285\\ 142857\times 6=857142\end{array}$$
というように、各桁の数が順序を崩さずにぐるぐると巡回（ダイヤル）させた数になっているのです。このような数を巡回数 (cyclic number) といいます。次に $7$ を掛けてみると
 $$142857\times 7=999999$$
あれ？　$9$ が並びました。巡回していませんね。
$1$ 倍から $6$ 倍までの結果が単なる偶然の産物だったのでしょうか？
決してそんなことはありません。再び $8,9,10,\cdots$ を掛けてみると
 $$\begin{array}{r}142857\times 8=1142856\\ 142857\times 9=1285713\\ 142857\times 10=1428570\\ 142857\times 11=1571427\\ 142857\times 12=1714284\\ 142857\times 13=1857141\end{array}$$
微妙に規則性が崩れているように思えますが、先頭の $1$ を取り除いて末尾の数に加えてみると
 $$\begin{array}{r}142857\\ 285714\\ 428571\\ 571428\\ 714285\\ 857142\end{array}$$
というように、ちゃんと巡回しています。でも $14$ をかけると
 $$142857\times 14=1999998$$
先頭の数を取り除いて、末尾に加えると
 $$999999$$
再び $9$ が並びました。
もっと大きな数で試してみましょう。
皆さんも電卓やエクセルで確認してみてください。
 $$\begin{array}{r}142857\times 158=22571406\\ 142857\times 159=22714263\\ 142857\times 160=22857120\end{array}$$
今度は左から 2 桁の数を末尾に加えると
 $$\begin{array}{r}571428\\ 714285\\ 857142\end{array}$$
となっています。この巡回はずっと続きます。ただし、$7$ の倍数を乗じたときだけ、$9$ が並びます。その理由は $142857$ という数字が、$1$ を $7$ で割ったときの数
 $$1÷7=0.142857142857142857\cdots$$
のような循環小数部分となっているからです。この数字に $7$ を掛けてみると
 $$0.999999999999999999\cdots$$
となります。小数点以下に $9$ が無限に続いているので、これは $1$ と同じことです。つまり
 $$(1÷7)\times 7=0.999999999999999999\cdots =1$$
となって辻褄が合っていますね。

え？　何か騙された気がする？
$0.999999999999999999\cdots$ は $1$ ではない？
いえ、本当なんです。これが解析学（微分積分学）で用いられる「極限」という概念です。
 
ところで、この巡回数、素数と深い関係があります。巡回数 $1/p$ の分母 $p$ は素数 $7,17,29,23,29,47\cdots$ などの素数となっています（すべての素数が巡回数の分母となるわけではありません）。不思議ですね。