Excel で方程式の解の個数を求めます

 

[EX-01] Excel で最大公約数と最小公倍数を求めます

(1) 3604990 と 92631 の最大公約数を求めてください。
(2) 72, 544, 1168 の最小公倍数を求めてください。

EX-01 のヒント

最大公約数と最小公倍数のことを英語でそれぞれ

Greatest Common Divisor, Least Common Multiple

といいます。

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EX-01 の解答

(1) 最大公約数がほしいときは GCD 関数を使います。セルに

=GCD(3604990,92631)

と入力すれば 3604990 と 92631 の最大公約数 401 が得られます。ちなみに手計算でやる場合はユークリッド互除法を用いますが、かなり面倒です。

(2) 数値群の最小公倍数は LCM 関数 によって得られます。セルに 

=LCM(72,544,1168)

と入力すれば 72, 544, 1168 の最小公倍数 357408 が返ってきます。
 
 

[EX-02] $\sin 19^{\circ}$ の値を求めます

(1) $\sin 19^{\circ}$ の値を求めてください。
(2) $\cos^{3} 55^{\circ}$ の値を求めてください。

 ただし、いずれも小数点以下 3 桁で答えるものとします。

EX-02 のヒント

 引数の単位に注意です!

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EX-02 の解答

 Excel には $\sin x,\:\cos x\:\tan x$ の値を返す SIN, COS, TAN という関数が用意されていますが、その引数はラジアン単位で入れることになっています。そこで RADIANS関数によって引数の「度」を「ラジアン」に変換しておく必要があります。

(1) $\sin 19^{\circ}$ は

=SIN(RADIANS(19))

と入力して 0.326 が得られます。

(2) べき乗は「^」という演算子を使います。$\cos^3 55^{\circ}$ は

=COS(RADIANS(55))^3

と入力して 0.189 が得られます。
 
 

[EX-03] 係数の大きな 2 次方程式の解を求めます

 2 次方程式 $133x^2-3531x+23436=0$ を解いてください。
 ただし、解は分数の形で表してください。
 

EX-03 のヒント

 解は有理数です。まとめて計算させようとすると入力ミスなどを生じやすいので、係数を別々のセルに入れて処理しましょう。

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EX-03 の解答

 2 次方程式の解の公式
\[x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a},\quad D=b^2-4ac\]を用いて解を求めます。次のようなシートを作ってみます。

 Excel 2次方程式worksheet

 セル C2, C3, C4 に係数 $a,\:b,\:c$ を入れておきます。
 セル C6 で判別式 $D$ の値を計算させます:

=C3^2-4*C2*C4

 セル C8 と C9 にはそれぞれ

=(-C3-SQRT(C6))/(2*C2)
=(-C3+SQRT(C6))/(2*C2)

と入力して 2 つの解を計算させます。ただし、初期設定では値が小数で表示されるので、これを分数表示に変えます。セル C8 と C9 を選択した状態で [ホーム] ⇒ [表示形式] ⇒ [その他の設定] の順に選択します(あるいは右クリック ⇒ [セルの書式設定])。すると次のような画面が現れます。

 Excel2次方程式worksheet分数表示ユーザー定義

 この画面で [ユーザー定義] を選択し、[種類] のテキストボックスに

?/#####

と書きこんでおきます( # は桁数を表すので適当に多めに入れておきます)。

 worksheetで分数表示になっていることを確認

 分数表示されましたね。よって 2 つの解が
\[x=\frac{252}{19},\quad\frac{93}{7}\]であることがわかりました。
 
 

[EX-04] 条件を満たす整数を求めます

 $f(n)=[n^\sqrt{n}]$ が 3 桁の数字となるような自然数 $n$ を全て求めてください。
 ここで $[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表すものとします。

EX-04 のヒント

 $n$ と $f(n)$ のデータを作って確認します。
 
 

EX-04 の解答

 下図のようなワークシートを作ります。

 Excelで3桁のf(n)を見つける図

 A 列に $n$ を適当な数だけ並べておきます。$\sqrt{n}$ は SQRT関数で計算させます。また $[x]$ は指定された数値を最も近い整数に切り捨てる INT関数を用います。ですからセル B1 に

=INT(A2^SQRT(A2))

と入力して $f(1)$ を計算させ、A11 までオートフィルして $f(n)$ のデータを埋めます。すると $n=7,\:8,\:9$ で 3 桁の数字になっていることがわかります。
 
 

[EX-05] 絶対値を含む方程式の解の個数を求めます

 方程式 $\displaystyle |x-2|+|x^2-4|=\frac{x}{4}+5$ を満たす解の個数を求めてください。

EX-05 のヒント

 グラフを使って解きます。
 

EX-05 の解答

 解の個数を問われているので、$y=|x-2|+|x^2-4|$ と $y=x/4+5$ のグラフを描いて交点の数をかぞえればよいのです。$x$ を 0.1 刻みで -4 ~ 4 ぐらいの範囲で設定して、次のようなワークシートを作ります。

 Excel絶対値方程式ワークシート

 数値の絶対値を求めるときは ABS関数 を用います。セル B2 と C2 にはそれぞれ

=ABS(A2-2)+ABS(A2^2-4)
=A2/4+5

と入力し、B2 と C2 を同時選択して C2 の右下隅をダブルクリックすると列にデータが埋まります。次は A 列から C 列まで同時選択して、[ホーム] ⇒ [散布図] ⇒ [散布図(平滑線)] の順にクリックすると、グラフが表示されるので、軸や目盛などを適当に設定します。

 Excel絶対値を含んだ関数graph

 グラフの交点を数えると 解が 4 つある ことがわかります。


 

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