最初に1の目を出した人が勝ちです

【PS21】最初に 1 の目を出した人が勝ちです

山田君、中村君、佐藤君の順に交互にサイコロを投げて、最初に $1$ の目を出した人が勝ち というゲームをします。それぞれが勝つ確率を求めてください。必要であれば、$r<1$ のときに成り立つ無限等比級数の公式
$$1+r+r^2+r^3+\cdots =\frac{1}{1-r}$$を使ってください。

【ヒント】数Ⅲの無限級数が絡む確率問題ですが、使う公式は明示してあるので、数Ⅲを未履修でも挑戦できます。

【考え方】このゲームは $1$ の目が出るまで終わりません。つまり、サイコロを $1000$ 回振っても $10000$ 回振っても終わらない可能性も（僅かに）あります。そのため、誰が勝つ確率も無限級数を使って表されることになります。
　
【解答】山田君、中村君、佐藤君の順にサイコロを投げるので、山田君が勝つ可能性があるのは、$1,4,7,\cdots$ 回目です。$1$ の目を ① で、それ以外の目を □ で表すことにします。$1,4,7,\cdots$ 回目に山田君が $1$ の目を出したというそれぞれのケースについて、それまでに $3$ 人が出した目を並べてみると次のようになります。

 $1$ 回目  ①
 $4$ 回目  □□□①
 $7$ 回目  □□□□□□①

① は $\frac{1}{6}$, □ は $\frac{5}{6}$ の確率で実現するので、$1,4,7,\cdots$ 回で山田君が勝つ確率は次のようになります。

 $1$ 回目$\frac{1}{6}$
 $4$ 回目${\left(\frac{5}{6}\right)}^3\times \frac{1}{6}$
 $7$ 回目${\left(\frac{5}{6}\right)}^6\times \frac{1}{6}$

それぞれの回で山田君が勝つという事象は互いに独立です（$1$ 回目と $7$ 回目に勝つということはありえません）。したがって、山田君が勝つ確率 $P(A)$ は、それぞれの回で勝つ確率を全部（無限に）足し合わせて
$$\begin{array}{rl}P(A)& =\frac{1}{6}+{\left(\frac{5}{6}\right)}^3\frac{1}{6}+{\left(\frac{5}{6}\right)}^6\frac{1}{6}+\cdots \\ & =\frac{1}{6}\{1+{\left(\frac{5}{6}\right)}^3+{\left(\frac{5}{6}\right)}^6+\cdots \}\end{array}$$
と表されます。ここで与えられた公式
$$1+r+r^2+r^3+\cdots =\frac{1}{1-r}$$
を使うと、
$$P(A)=\frac{1}{6}\frac{1}{1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^3}=\frac{36}{91}$$
となります。同じようにして、中村君が勝つケースは次のように表されます。

 $2$ 回目  □①
 $5$ 回目  □□□□①
 $8$ 回目  □□□□□□□①

それぞれの回で中村君が勝つ確率は

 $2$ 回目$\frac{5}{6}\times \frac{1}{6}$
 $5$ 回目${\left(\frac{5}{6}\right)}^4\times \frac{1}{6}$
 $8$ 回目${\left(\frac{5}{6}\right)}^7\times \frac{1}{6}$

よって、中村君が勝つ確率 $P(B)$ は
$$\begin{array}{rl}P(B)& =\frac{1}{6}\{\left(\frac{5}{6}\right)+{\left(\frac{5}{6}\right)}^4+{\left(\frac{5}{6}\right)}^7+\cdots \}\\ & =\frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\{1+{\left(\frac{5}{6}\right)}^3+{\left(\frac{5}{6}\right)}^6+\cdots \}\\ & =\frac{5}{36}\frac{1}{1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^3}=\frac{30}{91}\end{array}$$
となります。佐藤君が勝つ確率は全事象の確率 $1$ から「山田君が勝つ確率」と「中村君が勝つ確率」を引いて、
$$P(C)=1-P(A)-P(B)=\frac{25}{91}$$
となります。

【PS22】重複を許して無作為に生成される文字列

コンピュータを使って $a,b,c,d,e$ から重複を許して無作為に $3$ つの文字を選び出し、左から順に並べて $3$ 文字で構成される文字列を作ります。同じ文字が含まれる文字列が生成される確率 を求めてください。ただし、それぞれの文字はどれも等しい確率で選び出されるものとします。

【ヒント】同じ文字を含む文字列は $aaa$ とか $bcb$ とか、$baa$ など色々なパターンがあります。頑張って数えあげることもできなくはないですが、もっと簡単な方法があります。今回は数行で解ける簡単な問題です。あまり難しく考え過ぎないでください。
　
【解答】「同じ文字を含む」という事象を $\mathrm{A}$ とすると、その余事象 $\overline{A}$ は「同じ文字を１つも含まない」となります。この余事象の個数は、$5$ 個のものから $3$ 個とって並べる順列の数
$${}_5{\mathrm{P}}_3=5\cdot 4\cdot 3$$
です。文字の選び方の総数は $5^3$ なので、余事象 $\overline{A}$ が起こる確率は
$$P(\overline{A})=\frac{5\cdot 4\cdot 3}{5^3}=\frac{12}{25}$$
となります。よって、求める確率は
$$P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{12}{25}=\frac{13}{25}$$
となります。