[VBA] Mod 演算子で割り算の余りを求める

　VBA では割り算の剰余を求めるために、関数ではなく Mod 演算子が用意されています。エクセルの MOD関数とは少し使い勝手が異なりますが、基本的な考え方は同じです。
　

Mod演算子

　VBA の Mod は モジュロ演算 (剰余演算) を実行します。
　a を b で割ったときの余りを求めて変数 i に代入するときは

のように記述します。たとえば 11 を 4 で割ったときの余りを求めるには次のようなコードを書きます。

MODの演算結果①　a, b が非整数の場合

　Mod演算子のステートメント

において b が 0 の場合は（ 0 で割ることになるので）エラーになるのは言うまでもありません。また a や b が整数でない場合はエラーにはなりませんが、銀行丸め によって強制的に整数に変えて計算を続行します。

　銀行丸めは四捨五入とよく似ています。 10.3 であれば 10 に丸め、10.7 であれば 11 に丸めます。ただし 10.5 のときは「偶数である」10 のほうへ丸められます。 11.5 であれば「偶数である」12 のほうへ丸められます。たとえば 11 ÷ 2.5 という計算を考えたときに、

と書くと、得られる値は 11 ÷ 2 を計算して余り「 1 」を得ます（四捨五入であれば 11 ÷ 3 の余りは 2 となるはずです）。実際に計算させるマクロを載せておくので試してみてください。

MODの演算結果②　a, b が負の場合

　整数論の話になりますが、11 を －2 で割ったときの商は －5 ですから、

のように書くことができます。この + 1 という部分が余りですから、VBA で

とすれば「 1 」を得ることになります。同じように －11 を 3 で割ったときの商は －3 なので、

と書けて、余りが －2 であることがわかります。 VBA で

と記述すると「 －2 」が返ります。実際のコードは次のようになります。

ベキ乗の除算の余りを求める手順

　たとえば VBA の Mod 演算子で $2^{100}$ を $13$ で割ったときの余りを求めようと思って、次のようなコードを書いたとします。

　Modulo_4() を実行するとオーバーフローしてしまいます。巨大数 $2^{100}$ の演算が VBA の処理能力を遥かに超えてしまうからです。しかし、数論の合同式を上手く活用すると、$a^k$ のような整数のベキ乗を除算したときの余りはたった数行のコードで計算できます。アルゴリズムの流れを確認するために、例として $5^8$ を $7$ で割ったときの余りを合同式で求めてみます。計算には合同式の基本公式
　
\[a\equiv b,\:\:c\equiv d\quad\Longrightarrow\quad ab\equiv cd\quad (\mathrm{mod}\:m)\]
を用います。
　
\[5\equiv 5\quad (\mathrm{mod}\:7)\]
はもちろん成り立ちます。両辺に $5$ を掛けると
　
\[5^2\equiv 25\equiv 4\quad (\mathrm{mod}\:7)\]
となります。以下同様に両辺に $5$ を掛け続けます。
　
\[\begin{align*}&5^3\equiv 20\equiv 6&\quad (\mathrm{mod}\:7)\\[6pt]
&5^4\equiv 30\equiv 2&\quad (\mathrm{mod}\:7)\\[6pt]
&5^5\equiv 10\equiv 3&\quad (\mathrm{mod}\:7)\\[6pt]
&5^6\equiv 15\equiv 1&\quad (\mathrm{mod}\:7)\\[6pt]
&5^7\equiv 5&\quad (\mathrm{mod}\:7)\\[6pt]
&5^8\equiv 25\equiv 4&\quad (\mathrm{mod}\:7)\end{align*}\]
　よって余りは $4$ となります。

　上の方法で $a^k$ を除算したときの余りを計算する PMOD 関数のコードを載せておきます。

　PMOD 関数をワークシートで使用するときは

と入力します。たとえば $5^8$ を $7$ で割ったときの余りを計算させるときは

と入力すると「4」が返ります。もっと大きな数で試してみましょう。 $2^{100}$ を $13$ で割ったときの余りを計算させてみます。

と入力すると「3」が返ります。