放物線上の接線と法線

【CL17】放物線上の接線と法線

放物線 $y=x^2$ 上の１点 $R$ に接線と法線を引きます。
 

 
図のように、接線（赤い線）が $x$ 軸と交わる点を $P$ とし、法線（青い線）が $x$ 軸と交わる点を $Q$, $y$ 軸と交わる点を $T$ とします。このとき △$PQR$ の面積 $S_1$ が △$OQT$ の面積 $S_2$ のちょうど半分となるように点 $R$ の座標を定めてください。
 
【ヒント】接線と法線の方程式を立てます。
　
【解答】放物線上の点 $R$ を $(a,a^2)$ とします。$y=x^2$ を微分すると $y^{\prime }=2x$ なので、点 $R$ における接線の方程式は
 $$y-a^2=2a(x-a)$$
と書くことができます。$y=0$ とおいて $x$ 軸との交点 $P$ の $x$ 座標を求めると
 $$x=\frac{a}{2}$$
となります。法線の方程式は
 $$y-a^2=-\frac{1}{2a}(x-a)$$
となります。$y=0$ とおくと、 $x$ 軸との交点 $Q$ の $x$ 座標は
 $$x=2a^3+a$$
であり、また $x=0$ とおいて、$y$ 軸との交点 $T$ の $y$ 座標を
 $$y=a^2+\frac{1}{2}$$
と求めることができます。
 

以上より △$PQR$ の面積 $S_1$ は
 $$S_1=\frac{1}{2}{a}^2(2a^3+a-\frac{a}{2})=\frac{1}{4}{a}^3(4a^2+1)$$
となります。また、△$OQT$ の面積 $S_2$ は
 $$S_2=\frac{1}{2}(2a^3+a)(a^2+\frac{1}{2})=\frac{1}{4}a(2a^2+1{)}^2$$
となります。 $S_1=S_2/2$ とおくと
 $$4a^4-2a^2-1=0$$
という方程式が得られるので、$a^2>0$ となる解を求めると
 $$a^2=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$$
が得られます。よって点 $R$ の座標は
 $$(x,y)=(\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{4}},\frac{1+\sqrt{5}}{4}),(-\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{4}},\frac{1+\sqrt{5}}{4})$$
となります。