薄めた食塩水の濃度を計算します



≫『大学への数学』最新号
≫ 挑戦問題 PS-19 が入りました。

問題14 食塩水を薄めます

(1) 5 % の食塩水 400g に 3 % の食塩水 600g を加えると、何パーセントの食塩水になりますか?

(2) (1) で作った食塩水に、さらに 2 % の食塩水 500g を加えると、何パーセントの食塩水ができるでしょう。
 

問題14 のヒント

 まずはオーソドックスな方法で解いてみてください。
 そのあと計算をもう少し簡単にする方法がないか考えてみてください。

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解答14(濃度を計算する公式があります)

 まずは濃度を求める式を思い出しましょう。

濃度 (%) = [食塩の質量 (g) / 食塩水の質量 (g)] × 100

ですね。この式から逆に食塩の質量を求める式は

食塩の質量 (g) = [濃度 (%) × 食塩水の質量 (g)] / 100

となります。

(1) 5 % の食塩水 400g に含まれる塩の量は

(5 × 400) / 100 = 20g

となります。また 3 % の食塩水 600g に含まれる塩の量は

(3 × 600) / 100 = 18g

ですね。ですから新しい食塩水には

20 + 18 = 38g

の塩が含まれることになります。また新しい食塩水全体の量は

400 + 600 = 1000g

ですから、その濃度は

(38 / 1000) × 100 = 3.8 %

となります。

(2) 2 % の食塩水 500g に含まれる塩の量は

(2 × 500) / 100 = 10g

なので、新しい食塩水には

38 + 10 = 48g

の塩が含まれます。食塩水全体の量は

1000 + 500 = 1500g

なので、求める濃度は

(48 / 1500) × 100 = 3.2 %

となります。
 

別解 もっと簡単に計算しましょう

 こういう計算は理科の実験などでもたくさん現れますけど、何だか無駄が多いような気がしませんか? 忙しい実験のさいにはこんなこといちいちやっていられません。もっと直感的に、できれば暗算で求めたいものです。そこで (1) の最初の式をもう1度見直してみましょう。

5 % の食塩水 400g に含まれる塩の量 = (5 × 400) / 100 = 20g

 400 を掛けて 100 で割る、という記述がずいぶんと煩雑に感じます。そこで、「そもそも x %というのは、食塩水 100 g に対する量であるはず。それなら最初から食塩水を g でなく 100 g で表せば、% はそのまま g を表して単位が揃って便利だね」というように考えます。

(1) 食塩水 400g を

400 [g] = 4 [100g]

としてみます。その 5 % とは 100g 単位で 4 に対して 5g の量ということになります。ですから、この 5 と 4 はそのまま掛けてしまえば、塩の量が求められます。

5 × 4 = 20g

 同じように 3 % の食塩水 600g に含まれる塩の量は

3 × 6 = 18g

ですね。このあと食塩水全体の量で割るのですが、これも

1000g = 10 [100g]

と単位を揃えます。すると

38g / (10 [100g]) = 3.8g / (1 [100g])

となります。100g 中に 3.8 g あるのですから、これはパーセントの定義そのものですから、そのまま 3.8 % が答えとなります。

(2) 上の説明の理屈を忘れてしまっても、2 % と 500g の頭の数字 5 をかければ機械的に塩の量を求められます。

2 × 5 = 10g

 あとは先程の 38 g に加えて 15 で割って

(10 + 38) / 15 = 3.2g

が答えとなります。 ≫ [問題15] マス目を埋めます ≫ 算数問題01-30

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