等比数列と等比級数
隣り合う二項の比が一定数 $r$ であるような数列 $a_{n+1}=ra_n$ のことを等比数列あるいは幾何数列とよびます。また定数 $r$ は公比とよばれます。等比数列の各項を足し合わせたものを等比級数といいます。
初項 $1$, 公比 $r$ の等比数列の一般項は
\[a_n=r^{n-1}\tag{1}\]
で表され、$n$ 項までの和(有限等比級数)は $r=1$ のとき
\[S_n=n \tag{2}\]
となり、$r \neq 1$ のとき
\[S_n=\frac{1-r^n}{1-r}\tag{3}\]
となります。無限等比級数は $|r| \lt 1$ のときのみ収束して
\[S=\frac{1}{1-r}\tag{4}\]
という値をもちます。$|r|\geq 1$ のときは発散します。初項が $a$ の場合は各公式に $a$ をかけます。
【(1)の証明】初項 $1$, 公比 \(r\) の等比数列を具体的に書き並べると
\[1,\quad r,\quad r^2,\quad r^3,\quad\cdots\]
のようになります。各項について
\[\begin{align*}第\:1\:項\quad 1\times r^0\\[6pt]第\:2\:項\quad 1\times r^1\\[6pt]第\:3\:項\quad 1\times r^2\\[6pt]\end{align*}\]
のように項番号と $r$ の肩にある数字が 1 つだけずれているので、一般項は
\[a_n=r^{n-1}\tag{1}\]
と書き表せます。
【(2)(3)の証明】$r=1$ のときは
\[S_n=1+1+1+\:\cdots\:+1=n\]
となります。$r\neq 1$ のときは、$S_n$ と $rS_n$ を具体的に書き並べると、
\[\begin{align*}S_n=1+r+r^2+\:\cdots\:+r^{n-2}+r^{n-1}\\[6pt]rS_n=r+r^2+r^3\:\cdots\:+ r^{n-1}+r^n\end{align*}\]
となります。両式の差をとると 2 つの項だけが残って
\[(1-r)S_n=1-r^n\]
となるので、
\[S=\frac{1-r^n}{1-r} \tag{3}\]
が得られます。
【(4)の証明】$r=1$ のときは先の公式
\[S_n=n\tag{2}\]
において $n\rightarrow\infty$ で発散します。$|r|\gt 1$ のときは公式
\[a_n=r^{n-1}\tag{1}\]
において数列が発散するので級数も発散します。$|r|\lt 1$ のときは公式
\[S=\frac{1-r^n}{1-r}\tag{3}\]
において、$n\rightarrow\infty$ とすると、$r^n$ の項が $0$ となるので
\[S=\frac{1}{1-r}\tag{4}\]
が得られます。例として初項 $1$、公比 $1/2$ の等比数列の一般項と和を求めてみます。$r=1/2$ なので一般項は
\[a_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\]
となります。有限項の和は
\[S_n=\frac{1-\left(\cfrac{1}{2} \right)^n}{1-\cfrac{1}{2}}=2-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\]
となり、この式で $n\rightarrow\infty$ の極限をとると、無限級数の値 $S=2$ を得ることができます。
初項 $a$ の等比数列の一般項
\[a_n=ar^{n-1}\]
において両辺の対数をとると
\[\log a_n=\log a+(n-1)\log r\]
のように書けるので、数列 $\log a_n$ は初項 $\log a$, 公差 $\log r$ の等差数列となります。
等比数列の任意の連続した 3 つの項 $a,\:b,\:b$ について
\[b^2=ac \quad (b \neq 0) \tag{5}\]
が成り立ちます。
【(5) の証明】公比を $r$ とすると
\[\frac{b}{a}=\frac{c}{b}=r\]
が成り立つので、
\[b^2=ac\quad (b\neq 0)\tag{5}\]
が得られます。
Excelで等比数列と各項の和を計算します
Excel では等比数列の二項間の関係
\[a_{n+1}=a_n r\]
で数列を作成できます。また、第 $n$ 項までの等比数列の和は、各セルを順次足していくという手法を用いるので、
\[S_n=S_{n=1}+a_n\]
という関係式で計算させます。初項 $1$, 公比 $3$ の等比数列を計算してみます。下図を参照にシートを作ってください。
・セルF2 に初項 a1, F3 に公比 r を設定しておきます。
・n の下には 1 から 10 までの数列番号を用意しておきます。
・セルB2 には絶対参照で「=$f$2
」と入力して初項が入るようにします。
・セルC2 には「=b2」と入力して S1=a1 となるようにします。
・セルB3 は「初項×公比」ですから「=b2*$f$3
」と入力します。
・セルB11 セルまでオートフィルして数列の一般項のデータを完成させます。
・セルC3 は S1 に a2 を加えた S2 が入ります。
・セル「=c2+b3」と入力してオートフィルしておきましょう。
以上で等比数列の一般項と和のデータが揃いました。
公比 r を 1/2 = 0.5 に変更してみましょう。
公比の変更に応じて一般項と総和のデータも更新されますが、注目すべきは Sn の最後のほうのデータです。n の増加に対して数値にほとんど変化がなく、4 に近づいている様子が見えますね。実際、[3] の公式を使って
\[S_{n}=\frac{2(1-0.5^{n})}{1-0.5}\]
において $n\rightarrow\infty$ とすれば $S_{n}\rightarrow 4$ という極限値が得られますが、その収束は非常に速く、$n=10$ においてすでに $S \simeq 4$ とみなしてよいことがわかりますね。
エクセルや数学に関するコメントをお寄せください
こちらをエクセルで計算させる場合を教えて頂けますでしょうか。
=0.98
=0.3
0
1 (1−)+(⋅)
2 (1−)+(⋅)(1−)+(⋅)^2
3 (1−)+(⋅)(1−)+(⋅)^2(1−)+(⋅)^3
・
・
・
n (1−)+(1−)∑(=1)(−1)(・)^ +(⋅)^n
・
・
・
∞
数式に (⋅)^n など意味不明な記号が含まれています。
何かのアプリで記述した数式を貼り付けるなどして、文字化けしているようにも見えます。
数式はコメントフォームに直接入力するか、Windows のテキストドキュメントからコピペしていただけると助かります。
その際、加減乗除の記号は +, -, *, / を使ってください。
総和記号を使う場合、たとえば変数 n について、1 から 10 まで n^2 の総和をとるときは、
Σ_{n=1}^{10}n^2
のように記述していただけると助かります。