【Excel】等比数列と等比級数（幾何級数）

等比数列と等比級数

隣り合う二項の比が一定数 $r$ であるような数列 $a_{n+1}=r{a}_n$ のことを等比数列あるいは幾何数列とよびます。また定数 $r$ は公比とよばれます。等比数列の各項を足し合わせたものを等比級数といいます。

初項 $1$, 公比 $r$ の等比数列の一般項は
 $$\begin{array}{}\text{(1)}& a_n=r^{n-1}\end{array}$$
で表され、$n$ 項までの和（有限等比級数）は $r=1$ のとき
 $$\begin{array}{}\text{(2)}& S_n=n\end{array}$$
となり、$r\ne 1$ のとき
 $$\begin{array}{}\text{(3)}& S_n=\frac{1-r^n}{1-r}\end{array}$$
となります。無限等比級数は $|r|<1$ のときのみ収束して
 $$\begin{array}{}\text{(4)}& S=\frac{1}{1-r}\end{array}$$
という値をもちます。$|r|\ge 1$ のときは発散します。初項が $a$ の場合は各公式に $a$ をかけます。

【(1)の証明】初項 $1$, 公比 $r$ の等比数列を具体的に書き並べると
 $$1,r,r^2,r^3,\cdots$$
のようになります。各項について
 $$\begin{array}{r}\mathrm{第}1\mathrm{項}1\times r^0\\ \mathrm{第}2\mathrm{項}1\times r^1\\ \mathrm{第}3\mathrm{項}1\times r^2\end{array}$$
のように項番号と $r$ の肩にある数字が 1 つだけずれているので、一般項は
 $$\begin{array}{}\text{(1)}& a_n=r^{n-1}\end{array}$$
と書き表せます。

【(2)(3)の証明】$r=1$ のときは
 $$S_n=1+1+1+\cdots +1=n$$
となります。$r\ne 1$ のときは、$S_n$ と $r{S}_n$ を具体的に書き並べると、
 $$\begin{array}{r}{S}_n=1+r+r^2+\cdots +r^{n-2}+r^{n-1}\\ r{S}_n=r+r^2+r^3\cdots +r^{n-1}+r^n\end{array}$$
となります。両式の差をとると 2 つの項だけが残って
 $$(1-r)S_n=1-r^n$$
となるので、
 $$\begin{array}{}\text{(3)}& S=\frac{1-r^n}{1-r}\end{array}$$
が得られます。
　
【(4)の証明】$r=1$ のときは先の公式
 $$\begin{array}{}\text{(2)}& S_n=n\end{array}$$
において $n\to \mathrm{\infty }$ で発散します。$|r|>1$ のときは公式
 $$\begin{array}{}\text{(1)}& a_n=r^{n-1}\end{array}$$
において数列が発散するので級数も発散します。$|r|<1$ のときは公式
 $$\begin{array}{}\text{(3)}& S=\frac{1-r^n}{1-r}\end{array}$$
において、$n\to \mathrm{\infty }$ とすると、$r^n$ の項が $0$ となるので
 $$\begin{array}{}\text{(4)}& S=\frac{1}{1-r}\end{array}$$
が得られます。例として初項 $1$、公比 $1/2$ の等比数列の一般項と和を求めてみます。$r=1/2$ なので一般項は
 $$a_n={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$$
となります。有限項の和は
 $$S_n=\frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}{1-\frac{1}{2}}=2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$$
となり、この式で $n\to \mathrm{\infty }$ の極限をとると、無限級数の値 $S=2$ を得ることができます。

初項 $a$ の等比数列の一般項
 $$a_n=a{r}^{n-1}$$
において両辺の対数をとると
 $$\log a_n=\log a+(n-1)\log r$$
のように書けるので、数列 $\log a_n$ は初項 $\log a$, 公差 $\log r$ の等差数列となります。

等比数列の任意の連続した 3 つの項 $a,b,b$ について
 $$\begin{array}{}\text{(5)}& b^2=ac(b\ne 0)\end{array}$$
が成り立ちます。

【(5) の証明】公比を $r$ とすると
 $$\frac{b}{a}=\frac{c}{b}=r$$
が成り立つので、
 $$\begin{array}{}\text{(5)}& b^2=ac(b\ne 0)\end{array}$$
が得られます。

Excelで等比数列と各項の和を計算します

Excel では等比数列の二項間の関係
 $$a_{n+1}=a_{n}r$$
で数列を作成できます。また、第 $n$ 項までの等比数列の和は、各セルを順次足していくという手法を用いるので、
 $$S_n=S_{n=1}+a_n$$
という関係式で計算させます。初項 $1$, 公比 $3$ の等比数列を計算してみます。下図を参照にシートを作ってください。
 

・セルF2 に初項 a₁, F3 に公比 r を設定しておきます。

・n の下には 1 から 10 までの数列番号を用意しておきます。

・セルB2 には絶対参照で「=$f$2」と入力して初項が入るようにします。

・セルC2 には「=b2」と入力して S₁=a₁ となるようにします。

・セルB3 は「初項×公比」ですから「=b2*$f$3」と入力します。

・セルB11 セルまでオートフィルして数列の一般項のデータを完成させます。

・セルC3 は S₁ に a₂ を加えた S₂ が入ります。
　
・セル「=c2+b3」と入力してオートフィルしておきましょう。

以上で等比数列の一般項と和のデータが揃いました。
 
公比 r を 1/2 = 0.5 に変更してみましょう。
 

公比の変更に応じて一般項と総和のデータも更新されますが、注目すべきは S_n の最後のほうのデータです。n の増加に対して数値にほとんど変化がなく、4 に近づいている様子が見えますね。実際、[3] の公式を使って
 $$S_n=\frac{2(1-{0.5}^n)}{1-0.5}$$
において $n\to \mathrm{\infty }$ とすれば $S_n\to 4$ という極限値が得られますが、その収束は非常に速く、$n=10$ においてすでに $S\simeq 4$ とみなしてよいことがわかりますね。