xsin(1/x)の極限値

【CL05】xsin(1/x)の極限値

次の極限値を求めてください。
 $${\displaystyle (1)\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x\sin \frac{1}{x}(2)\underset{x\to 0}{lim}x\sin \frac{1}{x}}$$
【ヒント】xsin(1/x)の極限値を求める問題です。有名な問題なので、もしかすると教科書にも載っていたりするかもしれません。三角関数に関する極限公式は必須です。(2) は「○○○○○の原理」に持ち込む必要があります。
　
【解答】(1) $1/x=t$ とおくと、$x\to 0$ のとき $t\to 0$ となるので、最後に $\sin x/x$ についての極限公式を使うと
 $$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x\sin \frac{1}{x}=\underset{t\to 0}{lim}\frac{\sin t}{t}=1$$
となります。

(2) 三角関数の基本性質として、任意の実数 $x$ に対して
 $$0\le |\sin \frac{1}{x}|\le 1$$
が成り立ちます。両辺に $|x|$ をかけると、
 $$0\le |x\sin \frac{1}{x}|\le |x|$$
が成り立ちます。はさみ打ちの原理によって
 $$0\le \underset{x\to 0}{lim}|x\sin \frac{1}{x}|\le \underset{x\to 0}{lim}|x|=0$$
となるので、
 $$\underset{x\to 0}{lim}x\sin \frac{1}{x}=0$$
となります。