引いた順番と一致するカードがちょうど 5 枚になる確率

[問題 PS-16] 9 枚のカードを並べます

 箱の中に $1$ から $9$ までの番号を $1$ つずつ書いた $9$ 枚のカードがあります。それらをよく混ぜて、その中から $1$ 枚ずつ続けて全部を取り出し、取り出した順に $1$ から $9$ までの番号をつけます。このとき、新しくつけられる番号が前もってつけられていた番号に一致するカードがちょうど $5$ 枚できる確率を求めてください。

(東大)

 
 

ヒント(引いた順番の数が与えられます)

 取り出したカードには、その引いた順番の数が与えられるということです。問題では「$5$ 枚が一致するような確率を求めなさい」とあります。たとえば次のような状況です。

 カードの数が引いた順番と5枚一致する例

 赤い数字が一致しているところです。
 このような場合の数をかぞえて確率を計算してください。
 

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解答 PS-16

 古い番号と新しい番号が一致する $5$ 箇所を選ぶ方法は全部で ${}_9\mathrm{C}_5$ 通りあります。その中のひとつ、たとえば、$1,\;3,\;5,\;7,\;8$ について一致する配置になったとします。

 カードの5つの数字が一致している場合

 $5$ 箇所が一致しているので問題の条件を満たしています。残りの空白部分に $2,\;4,\;6,\;9$ の数字を並べる方法は $4!$ ありますが、これらの数字に関しては古い番号と新しい番号がたとえ1つでも一致してはいけないので、このような場合は除外しなくてはいけません。

 残り $4$ 枚のカードも全て新しい番号と一致するのは ${}_4\mathrm{C}_4=1$ 通りだけです。同様に $4$ 枚のうち $3$ 枚が一致するのは ${}_4\mathrm{C}_3$ 通り、$2$ 枚が一致するのは ${}_4\mathrm{C}_2$ 通り、$1$ 枚が一致するのは ${}_4\mathrm{C}_1$ 通りとなります。これらを $4!$ から引いて、
 
\[4!-({}_4\mathrm{C}_4+{}_4\mathrm{C}_3+{}_4\mathrm{C}_2+{}_4\mathrm{C}_1)=24-15=9\]
が、残り $4$ 枚の数字が新しい番号と一致しない場合の数です。この $9$ 通りそれぞれについて、$5$ 枚が一致する場合が ${}_9\mathrm{C}_5$ 通りあるので、$5$ 枚だけが一致する場合の数は全部で
 
\[{}_9\mathrm{C}_5\times9\;通り\]
あります。カードの並べ方の総数は $9!$ なので、問題の条件を満たすような状況になる確率を計算すると
 
\[\frac{{}_9\mathrm{C}_5\times9}{9!}=\frac{1}{320}\]
となります。 ≫ 確率統計演習問題

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