整式が x - c で割り切れるような整数を見つけます

[問題 NT-12] 整式が x - c で割り切れるような整数 a, b, c

 次のように定義される x の整式

f(x) = x (x - a)(x - b) - 5

が x - c で割り切れるような正の整数 a, b, c を全て求めてください。

問題 NT-12 のヒント

 5 が素数ですから、とりうる値はかなり制限されます。

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問題 NT-12 の解答

 x - c で割り切れるということは、因数定理 によって f(c) = 0 が成り立つということです。

f(c) = c (c - a)(c - b) - 5 = 0

∴ c (c - a)(c - b) = 5

 上の式は a, b に関して対称ですから、とりあえず勝手に a ≦ b という制限をかけておくことにします(あとで外します)。すると

c - b ≦ c - a ≦ c

という不等式が成り立ちます。右辺の 5 は素数ですから、 3 つの数の積は小さいほうから並べて

(c - b, c - a, c) = (-1, -1, 5), (1, 1, 5), (-5, -1, 1)

の 3 通りしかありません。それぞれの場合について a, b, c を解くと

(a, b, c) = (6, 6, 5), (4, 4, 5), (2, 6, 1)

となります。ここで a ≦ b の条件を外すと a, b について交換が可能ですから、(6, 2, 1) という組合せが加わります。以上より求める a, b, c は

(a, b, c) = (6, 6, 5), (4, 4, 5), (2, 6, 1), (6, 2, 1)

となります。 ≫ [問題13] ピタゴラス方程式 ≫ 数学演習問題

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