区分求積法（Quadratures By Parts）

区分求積法と定積分

関数 $f(x)$ は区間 $[a,b]$ で連続であるとし、$f(x)$ と直線 $x=a,x=b$ および $x$ 軸によって囲まれる面積を $S$ とします。



図のように区間 $[a,b]$ を $n+1$ 個の点
$$\begin{array}{}\text{(1)}& a=x_0,x_1,x_2,\cdots ,x_{k-1},x_k,\cdots ,x_n=b\end{array}$$
で分割して、それぞれの点から
$$\begin{array}{}\text{(2)}& f(x_0),f(x_1),f(x_2),\cdots ,f(x_{k-1}),f(x_k),\cdots ,f(x_n)\end{array}$$
の各点に引いた垂線によって $S$ を帯状に分けます。さらに $x_{k-1}$ と $x_k$ の間に点 $p_k$ をとり、各々の帯の面積を底辺 $\mathrm{\Delta }{x}_k=x_k-x_{k-1}$, 高さ $f(p_k)$ の長方形の面積で近似します。すべての長方形を足し合わせると
$$\begin{array}{}\text{(3)}& S_n=\sum _{k=1}^{n}f(p_k)\mathrm{\Delta }{x}_k\end{array}$$
と表されます。ここで分割数 $n$ を限りなく小さくすると、$\mathrm{\Delta }{x}_k$ も限りなく小さくなります。このとき $S_n$ は $S$ に限りなく近づくので、その極限値
$$\begin{array}{}\text{(4)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^{n}f(p_k)\mathrm{\Delta }{x}_k\end{array}$$
を $f(x)$ の 定積分 (definite integral) と定義して、
$$\begin{array}{}\text{(5)}& {\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^{n}f(p_k)\mathrm{\Delta }{x}_k\end{array}$$
のように表します。$a,b$ をそれぞれ積分下限、積分上限といいます。(5) は 不定積分 の記号 ${\displaystyle \int dx}$ とは全く別個に定義したものなので、現段階では不定積分との間の関連性は明らかではありません。

定積分の基本性質

定義 (5) より、定積分に関して次のような公式が成り立つことがわかります。
$$\begin{array}{}\text{(6)}& \begin{array}{rl}{\int }_a^b\{f(x)+g(x)\}dx& ={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx\\ {\int }_a^{b}kf(x)dx& =k{\int }_a^{b}f(x)dx\end{array}\end{array}$$
両式を１つにまとめると、
$$\begin{array}{}\text{(7)}& {\int }_a^b\{kf(x)+lg(x)\}dx=k{\int }_a^{b}f(x)dx+l{\int }_a^{b}g(x)dx\end{array}$$
と表せます。また、被積分関数が $f(x)=c$ ($c$ は定数) であるときには、
$$\begin{array}{}\text{(8)}& {\int }_a^{b}cdx=c(b-a)\end{array}$$
となります。区間 $[a,b]$ で $f(x)\ge 0$ ならば
$$\begin{array}{}\text{(9)}& {\int }_a^{b}f(x)dx\ge 0\end{array}$$
が成り立つことも明らかです。区間 $[a,b]$ で $f(x)\ge g(x)$ が成り立つなら、$f(x)-g(x)\ge 0$ なので、(9) より
$$\begin{array}{}\text{(10)}& {\int }_a^b\{f(x)-g(x)\}dx\ge 0\end{array}$$
が成り立つので、
$$\begin{array}{}\text{(11)}& {\int }_a^{b}f(x)dx\ge {\int }_a^{b}g(x)dx\end{array}$$
が成立します。また、積分の下限と上限が等しいとき、すなわち $b=a$ のとき、
$$\begin{array}{}\text{(12)}& {\int }_a^{a}f(x)dx=0\end{array}$$
が成り立ちます。

平均値の定理

微分で表された平均値の定理においては、区間 $[a,b]$ において傾きが $f^{\prime }(c)(a<c<b)$ となるような $c$ が必ず存在するとされていました。この記事では長方形 $f(c)(b-a)$ が定積分 ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx}$ と等しくなるような $c$ が存在すると主張する、平均値の定理の積分形を導きます。



いま、$f(x)$ は区間 $[a,b]$ において連続で、区間内における最小値と最大値がそれぞれ $m,M$ であるとします。先ほど証明した定積分の性質
$$[a,b]$$
において
$$f(x)\ge g(x)⟹{\int }_a^{b}f(x)dx\ge {\int }_a^{b}g(x)dx$$
を用いると、

$$\begin{array}{}\text{(13)}& {\int }_a^{b}mdx\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}Mdx\end{array}$$
という不等式が成り立ちます。すなわち
$$\begin{array}{}\text{(14)}& m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)\end{array}$$
各辺を $b-a$ で割ると
$$\begin{array}{}\text{(15)}& m\le \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx\le M\end{array}$$
よって、$m\le A\le M$ を満たすある定数を $A$ として
$$\begin{array}{}\text{(16)}& \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx=A\end{array}$$
となります。中間値の定理により、
$$\begin{array}{}\text{(17)}& f(c)=A(a<c<)\end{array}$$
となるような $c$ が必ず存在するので、
$$\begin{array}{}\text{(18)}& \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)\end{array}$$
を満たす $c$ が存在します。$c=a+s(b-a)$ とおくと
$$\begin{array}{}\text{(19)}& {\int }_a^{b}f(x)dx=(b-a)f(a+s(b-a))(0<s<1)\end{array}$$
となり、これが積分で表された平均値の定理です。

微分積分学の基本定理

平均値の定理を使うと、不定積分と定積分の関係を明らかにすることができます。積分上限を変数 $x$ とする関数
$$\begin{array}{}\text{(20)}& F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt\end{array}$$
を定義して、変数を $x$ から $\mathrm{\Delta }x$ だけ動かしたときの定積分を計算すると
$$\begin{array}{}\text{(21)}& \begin{array}{rl}F(x+\mathrm{\Delta }x)& ={\int }_a^{x+\mathrm{\Delta }x}f(x)dx\\ & ={\int }_a^{x}f(t)dt+{\int }_a^{x+\mathrm{\Delta }x}f(t)dt\\ & =F(x)+{\int }_a^{x+\mathrm{\Delta }x}f(t)dt\end{array}\end{array}$$
ここで先ほどの平均値の定理
$${\int }_a^{b}f(x)dx=(b-a)f(a+s(b-a))(0<s<1)$$
を使うと、
$$\begin{array}{}\text{(22)}& \begin{array}{rl}F(x+\mathrm{\Delta }x)& =F(x)+(x+\mathrm{\Delta }x-x)f(x+s\mathrm{\Delta }x)\\ & =F(x)+\mathrm{\Delta }xf(x+s\mathrm{\Delta }x)\end{array}\end{array}$$
となるので、
$$\begin{array}{}\text{(23)}& \frac{F(x+\mathrm{\Delta }x)-F(x)}{\mathrm{\Delta }x}=f(x+s\mathrm{\Delta }x)\end{array}$$
ここで $\mathrm{\Delta }x\to 0$ の極限をとると、
$$\begin{array}{}\text{(24)}& F^{\prime }(x)=f(x)\end{array}$$
が得られます。これは 微分積分学の基本定理 とよばれています。この定理を少し言い換えると
$$\begin{array}{}\text{(25)}& F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt\end{array}$$
は $f(x)$ の原始関数のひとつです。いま、$F^{\prime }(x)=f(x)$ を満たすような原始関数のひとつ $F_0(x)$ が見つかったとします。$F_0(x)$ に任意定数 $C$ を加えてもやはり原始関数なので、
$$\begin{array}{}\text{(26)}& {\int }_a^{x}f(t)dt=F_0(x)+C\end{array}$$
$x=a$ とおくと左辺は $0$ になるので
$$\begin{array}{}\text{(27)}& 0=F_0(a)+C\end{array}$$
したがって、$C=F_0(a)$ と定まり、
$$\begin{array}{}\text{(28)}& {\int }_a^{x}f(t)dt=F_0(x)-F_0(a)\end{array}$$
$x=b$ と置き直すと
$$\begin{array}{}\text{(29)}& {\int }_a^{b}f(t)dt=F_0(b)-F_0(a)\end{array}$$
$F_0(x)$ は任意の原始関数なので $F(x)$ と置き直します。また、左辺の積分変数 $t$ も $x$ に置き換えると
$$\begin{array}{}\text{(30)}& {\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)\end{array}$$
となります。すなわち、下限 $a$ から上限 $b$ の定積分は $F(b)$ から $F(a)$ を引いて得られることになります。積分下限と積分上限を入れ替えると、
$$\begin{array}{}\text{(31)}& {\int }_a^{b}f(x)dx=F(a)-F(b)\end{array}$$
となるので、
$$\begin{array}{}\text{(32)}& {\int }_b^{a}f(x)dx=-{\int }_a^{b}f(x)dx\end{array}$$
という公式も導かれます。

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