4 進法と 10 進法/4 項数列の集合

[問題 PS-03] $4$ 進法と $10$ 進法

 正の整数を $4$ 進法で表したとき、$1,\;2,\;3$ の数字だけを用いて表される数の全体の集合を $M$ とします。$10$ 進法で表したときに $100$ 以上 $200$ 以下になるような $M$ の要素の個数を求めてください。

(埼玉大 一部改)

 

問題 PS-03 のヒント

 とりあえず $100$ と $200$ を $4$ 進法表記に変換してみます。
 

合格る確率 場合の数

中古価格
¥1,097から
(2017/12/20 03:15時点)

解答 PS-03

 次のように $100$ と $200$ を $4$ で割っていき、右に余りを書いておきます。

 10進数から4進数への変換

 余りを下から拾い上げると、それぞれの $4$ 進法表記が
 
\[(1210)_4,\:\:(3020)_4\]
であることがわかります(右下の添え字は $4$ 進法であることを示すものです)。いずれも $0$ が含まれているので $M$ の要素ではありませんが、
 
\[(1210)_4+(1)_4=(1211)_4\]
は $M$ の要素です ($10$ 進法で表すと $101$ です)。また、$3020$ より小さい $M$ の要素は $(2333)_4$ です(この数字に $1$ を加えると $(3000)_4$ です)。したがって $(1211)_4$ 以上、$(2333)_4$ 以下で $0$ を含まない数をかぞえればよいことになります。

 そこで $M$ の要素を $(abcd)_4$ で表して場合分けすると

 $a=1,\;b=2$ のとき、
 $c,\;d$ はそれぞれ $1,\;2,\;3$ をとれるので、$3\times 3=9$ 個

 $a=1,\;b=3$ のとき、
 $c,\;d$ はそれぞれ $1,\;2,\;3$ をとれるので、$3\times 3=9$ 個

 $a=2$ のとき、
 $b,\;c,\;d$ はそれぞれ $1,\;2,\;3$ をとれるので、$3\times 3\times 3=27$ 個

となります。求める個数は合わせて $45$ 個です。

 ≫ [問題04] computer を並べ替えます ≫ 確率統計演習問題
 
 

[問題 PS-05] $4$ 項数列の集合

 各項が $1,\;2,\;3$ のどれかであるような項数 $4$ の数列 $(a_1,\;a_2,\;a_3,\;a_4)$ の集合体を $S$ とします。
(1) $S$ に属する数列は何個ありますか。
(2) $S$ に属する数列で $a_1\leq a_2\leq a_3\leq a_4$ を満たすものは何個ありますか。
(3) $S$ に属する数列で $1,\;2,\;3$ のすべてが現れるものは何個ありますか。
(4) $S$ に属する数列で $4$ 項の和が $10$ になるものは何個ありますか。

(東大 一部改)

 

問題 PS-05 のヒント

 (1) は重複順列(同じものを繰り返しとる順列)です。
 (2) は具体的に数え上げるしかありません。
 (3) は「どれか 2 つの項は同じである」と考えて分類します。

 ≫ 同じものを含む順列、重複順列についてはこちらのページを参照してください。
 

図解雑学 フェルマーの最終定理 (図解雑学-絵と文章でわかりやすい!-)

中古価格
¥1から
(2017/9/1 13:41時点)

解答 PS-05

(1) $a_1$ の選び方は $1\:\sim\:3$ のどれでもよいから $3$ 通りです。その各々に対して $a_2$ の選び方も $3$ 通りあります。$a_3,\;a_4$ についても同じように考えて、$S$ に属する数列の個数は全部で $3^4=81$ 個となります。

(2) 1つ1つ丁寧に調べていきます。$a_1=3$ のときは
 
\[a_2=a_3=a_4=3\]
の $1$ 通りしかありません。$a_1=2$ のときは
 
\[(a_2,\:a_3,\:a_4)=(2,\:2,\:2),\:(2,\:2,\:3),\:(2,\:3,\:3),\:(3,\:3,\:3)\]
の $4$ 通りです。$a_1=1$ のときは
 
\[\begin{align*}(a_2,\:a_3,\:a_4)=&\:(1,\:1,\:1),\:(1,\:1,\:2),\:(1,\:1,\:3),\:(1,\:2,\:2),\\[6pt]
&\:(1,\:2,\:3),\:(1,\:3,\:3),\:(2,\:2,\:2),\:(2,\:2,\:3),\\[6pt]
&\:(2,\:3,\:3),\:(3,\:3,\:3)\end{align*}\]
の $10$ 通りとなります。したがって、題意を満たす数列は合わせて $15$ 個あります。

(3) 数列 $(a_1,\:a_2,\:a_3,\:a_4)$ が $1,\:2,\:3$ のすべてをとるということは、必ず同じ数字が $2$ つ含まれているということです。すなわち、それらの数列は
 
\[\{1,\:1,\:2,\:3\},\;\{1,\:2,\:2,\:3\},\;\{1,\:2,\:3,\:3\}\]
の $3$ 組のうちのどれかを並び替えたものとなっているはずです。このうち の1組についての並べ方は $4$ 個の中に同じものを $2$ 個含む順列の数なので、

$\displaystyle\frac{4!}{2!}=12$ 通り

となります。よって、題意を満たす数列は全部で $36$ 個あります。

(4) $4$ 個の数字を合計して $10$ になる組合せは

\[\{1,\:3,\:3,\:3\},\;\{2,\:2,\:3,\:3\}\]
だけです。$\{1,\:3,\:3,\:3\}$ の並べ方は $4$ 個の中に同じものを $3$ 個含む順列、$\{2,\:2,\:3,\:3\}$ の並べ方は $4$ 個の中に同じものを $2$ 個ずつ含む順列なので、題意を満たす数列は

$\displaystyle\frac{4!}{3!}+\frac{4!}{2!2!}=10$ 個

となります。 ≫ [問題 06] 部屋割りの方法 ≫ 確率統計演習問題

スポンサーリンク
末尾広告
末尾広告

コメント

  1. くろまつ より:

    こんにちは。くろまつです。
    早速ですが

    (1211)4 を
    10進法で表すとのところ
    201ではなく101ですよね?

    ご確認をお願いいたします。

    • Blog Cat より:

       確かに 101 でした。
       記事は訂正させていただきました。
       申し訳ありませんでした。
       このようなご指摘をいただけると本当に助かります。
       今後とも当サイトをよろしくお願いします。

  2. くろまつ より:

    修正ありがとうございます。

    サイトで扱う話題の性質上、
    誤植で数字が1でも異なると
    読者にとったら致命的になってしまうので
    とっても大変ですよね(笑)

    今後も為になる記事を期待しております。

コメントをどうぞ

メールアドレスが公開されることはありません。

このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください