4 進法と 10 進法

[問題 PS-03] $4$ 進法と $10$ 進法

 正の整数を $4$ 進法で表したとき、$1,\;2,\;3$ の数字だけを用いて表される数の全体の集合を $M$ とします。$10$ 進法で表したときに $100$ 以上 $200$ 以下になるような $M$ の要素の個数を求めてください。

(埼玉大 一部改)

 

問題 PS-03 のヒント

 とりあえず $100$ と $200$ を $4$ 進法表記に変換してみます。
 

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解答 PS-03

 次のように $100$ と $200$ を $4$ で割っていき、右に余りを書いておきます。

 10進数から4進数への変換

 余りを下から拾い上げると、それぞれの $4$ 進法表記が
 
\[(1210)_4,\:\:(3020)_4\]
であることがわかります(右下の添え字は $4$ 進法であることを示すものです)。いずれも $0$ が含まれているので $M$ の要素ではありませんが、
 
\[(1210)_4+(1)_4=(1211)_4\]
は $M$ の要素です ($10$ 進法で表すと $101$ です)。また、$3020$ より小さい $M$ の要素は $(2333)_4$ です(この数字に $1$ を加えると $(3000)_4$ です)。したがって $(1211)_4$ 以上、$(2333)_4$ 以下で $0$ を含まない数をかぞえればよいことになります。

 そこで $M$ の要素を $(abcd)_4$ で表して場合分けすると

 $a=1,\;b=2$ のとき、
 $c,\;d$ はそれぞれ $1,\;2,\;3$ をとれるので、$3\times 3=9$ 個

 $a=1,\;b=3$ のとき、
 $c,\;d$ はそれぞれ $1,\;2,\;3$ をとれるので、$3\times 3=9$ 個

 $a=2$ のとき、
 $b,\;c,\;d$ はそれぞれ $1,\;2,\;3$ をとれるので、$3\times 3\times 3=27$ 個

となります。求める個数は合わせて $45$ 個です。

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コメント

  1. くろまつ より:

    こんにちは。くろまつです。
    早速ですが

    (1211)4 を
    10進法で表すとのところ
    201ではなく101ですよね?

    ご確認をお願いいたします。

    • Blog Cat より:

       確かに 101 でした。
       記事は訂正させていただきました。
       申し訳ありませんでした。
       このようなご指摘をいただけると本当に助かります。
       今後とも当サイトをよろしくお願いします。

  2. くろまつ より:

    修正ありがとうございます。

    サイトで扱う話題の性質上、
    誤植で数字が1でも異なると
    読者にとったら致命的になってしまうので
    とっても大変ですよね(笑)

    今後も為になる記事を期待しております。

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