【算数問題49】ダムから放水します
満水になったダムがあり、A と B の 2 本の放水管がついています。A 管だけを開くとダムの水は 20 日でなくなり、 B 管だけを開くと 30 日でなくなります。まず A と B の両方を開いて放水を始め、水の量が半分になったところで B 管だけを閉めると、ダムの水は何日でなくなりますか？
【ヒント】仕事算です。最初の水の量を適当な数に置いてみましょう。
【解答】最初の水の量を、$20$ と $30$ の最小公倍数である $60$ とおいてみます。A 管の１日あたりの放水量は
\[60\div 20=3\]
であり、また B 管の１日あたりの放水量は
\[60\div 30=2\]
となるので、 A 管と B 管を両方開いた場合の１日あたりの放水量は
\[3+2=5\]
です。水の量が最初の半分すなわち $30$ になるまでにかかる日数は
\[30\div 5=6\;日\]
です。そして B管を閉めて残りの $30$ を放水するのにかかる日数は
\[30\div 3=10\;日\]
です。したがってダムの水は
\[6+10=16\;日\]
でなくなります。
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今回の問題をChatGPTに解かせてみたら、滅茶苦茶な回答でした。
[GPT] この問題を解くために、各放水管の効率を考えます。A 管だけを開いた場合、1日あたりの効率はダムの水を20日でなくすのに十分な量を放水することです。同様に、B 管だけを開いた場合の1日あたりの効率は30日でなくすのに十分な量です。
まず、A と B の両方を開いて放水を始めた場合、1日あたりの効率は A 管と B 管の効率を合計したものになります。したがって、1日あたりの効率を a と b とし、水の量を V とすると、以下のように表せます。
\[a + b = \frac{1}{20} + \frac{1}{30}\]これを通分して計算すると、
\[a + b = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}\]次に、水の量が半分になるまで放水したときの時間を \(t\) とします。このときの水の量は \(\frac{1}{2}V\) です。式として表すと、
\[a \cdot t + b \cdot t = \frac{1}{2}V\]ここで、\(a\) と \(b\) を前述の結果で置き換えます。
\[\frac{1}{12} \cdot t + \frac{1}{12} \cdot t = \frac{1}{2}V\]これを整理して計算すると、
\[\frac{2}{12} \cdot t = \frac{1}{2}V\]
\[\frac{1}{6} \cdot t = \frac{1}{2}V\]
\[t = 3V\]したがって、水の量が半分になるまで放水したときの時間 \(t\) は、元の水の量 \(V\) の3倍です。つまり、水の量が半分になるまで放水した後に B 管だけを閉じた場合、残りの水を放水するのにかかる時間は \(t\) の半分、つまり \(1.5V\) です。
したがって、水の量が半分になったときに B 管だけを閉じ、残りの水を放水するのにかかる合計の時間は \(3V + 1.5V = 4.5V\) です。この時間は放水管の効率や水の量に依存しているため、具体的な時間を求めるには、元の水の量 \(V\) の値が必要です。