数学公式集 上に有界な単調増加数列は収束します
数列の有界性すべての $n$ について $a_n \leq c$ となる実数 $c$ が存在するとき、数列 $\{a_n\}$ は上に有界であるといいます。また $c$ を上界（upper bound）といいます。すべての $n$ について...
あとりえこばと
数学公式集 数学公式集 ライプニッツの公式
ライプニッツの公式とよばれる定理は二種類あって、ひとつは関数の積 $f(x)g(x)$ の $n$ 階微分の一般表式（ライプニッツ則）、もうひとつは円周率の値を求める級（グレゴリー・ライプニッツ級数）です。この記事では両方を説明します。 f...
数学よもやま話 ゼノンのアキレスと亀のパラドックス
久しぶりの「数学よもやま話」です。今回はあの有名なアキレスとカメのパラドックスのお話です。ただし、当記事の結論部分はすべて私の個人的な仮説です。あくまで考え方の一つとしてとらえてください。 アキレスと亀のパラドックスについて考察します「アキ...
数学公式集 C^n級関数（連続と不連続・滑らかさの度合い）
連続と不連続下図のように、関数 $f(x)$ が定義された区間内に 1 点 $a$ をとります。 $x$ を限りなく $a$ に近づけたとき、つまり、$|x-a|\rightarrow 0$ で、 \ となるのであれば、関数 $f(x)$ ...
数学公式集 合成関数と逆関数の微分公式
合成関数の微分公式微分可能な関数 $y=f(z),\:z=g(x)$ があって、合成関数 $y=f(g(x))$ の微分は次のように計算できます。 \ これは 鎖の法則 (chain rule) とよばれ、微積分全体にわたって大きな威力を発...
数学演習と解答 x^2+y^2=3を満たす有理数は存在しない？
【NT26】x^2+y^2=3を満たす有理数は存在しません(1) $a,\:b$ を整数とします。$a^2+b^2$ が $3$ で割り切れるならば、 $a$ と $b$ はともに $3$ で割り切れることを示してください。 (2) $x^...
数学公式集 【Excel】双曲線関数（COSH, SINH, TANH）
この記事で扱う Excel データは Hyperbolic.xlsx ファイルに入っています。 ≫ Hyperbolicブックをダウンロード 双曲線関数双曲線正弦関数（hyperbolic cosine）と双曲線余弦関数（hyperboli...
Excel関数グラフ xのx乗根のグラフを描きます
xのx乗根のグラフ$x$ の $x$ 乗根というちょっと変わった関数を調べてみましょう： \{x}\quad (x\gt 0)\tag{1}\] まずは理屈抜きに Excel で関数のグラフを描いてみます。 急激に立ち上がって極大値をとった...