本棚を整理しましょう

　本棚を整理していると色々悩みますよね。
「分野別に並べようかな、出版社別に分類しようかな … 」
　そんなことをあれこれ考えながら、本を引張り出してはまた直す、という具合に、後になって振り返ってみると、どうでもいいことに労力を費やしてしまうのです。まあ、そんなわけで次のような問題を作ってみました。

算数問題41　本棚の整理

　280 冊の書籍が収められた本棚があります。全部で５段あって、上段から下段まで順に A, B, C, D, E 段と名づけることにします。この本棚を次のような手順で整理しました。

　① D 段から 8 冊取り出して E 段に移します。
　② E 段から 13 冊取り出して C 段に移します。
　③ A 段から 5 冊取り出して B 段に移します。

　その結果、B 段から D 段に収められた本は全て同じ数になり、B 段に置かれた本の冊数は A 段の 1.5 倍になりました。各段に最初に収められていた本の冊数 を全て求めてください。
　
【ヒント】最終状態から考えます。

【解答】B 段の本が A 段の 1.5 倍、残りの段は B 段と同じという、最終状態を次のような何冊かの本をセットにしたブロックで考えることができます。

　本は全部で 280 冊なので、ブロック１つあたり、

280 ÷ 14 = 20 冊

の本が置かれていることになりますね。つまり A 段は 40 冊、B 段以下はそれぞれ 60 冊ずつです。この状況を

(A, B, C, D, E) = (40, 60, 60, 60, 60)

のように書くことにします。あとは作業を逆順に辿ります。 B 段から 5 冊取り出して A 段に移すと

(A, B, C, D, E) = (45, 55, 60, 60, 60)

C 段から 13 冊取り出して E 段に移すと

(A, B, C, D, E) = (45, 55, 47, 60, 73)

そして E 段から 8 冊取り出して D 段に移して

(A, B, C, D, E) = (45, 55, 47, 68, 65)

が答えとなります。