100円玉、10円玉、5円玉

問題52 100円玉、10円玉、5円玉

 100円玉と10円玉と5円玉が合わせて30枚あって合計金額は405円です。
 それぞれの硬貨の枚数を求めてください。

問題52 のヒント(つるかめ算の応用です)

 つるかめ算ですが「つるとかめ、それにもう1つ」(100円玉と10円玉と5円玉)という感じの変形版です。方程式であれば変数3つに条件式2つの不定方程式ですから枚数が定まらないように思えますが ...... でも決まるのです。100円玉に着目してください。

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解答52(100 円玉の枚数に制限があります)

 合計金額が 405 円ですから、100 円玉の枚数にはかなり制限があります。
 この点に着目して、100 円玉の枚数によって場合分けしてみます。

① 100 円玉が 4 枚のとき
 残りの金額は 5 円となってしまいます。
 これは 5 円玉 1 枚ぶんしか残らないので論外です。

② 100 円玉が 3 枚のとき
 残りの金額は 105 円です。仮に残りの 27 枚の硬貨全てが 5 円玉であったとしても(実際には最低でも 10 円玉を 1 枚使う必要があります)、その金額は 5 × 27 = 135 円となって、これだけで残りの金額を超えてしまいます。ですから 100 円玉が 3 枚ということもありません。

③ 100 円玉が 2 枚のとき
 残りの金額は 205 円です。仮に残りの 28 枚の硬貨全てが 5 円玉であったとすると 5 × 28 = 140 円となります。 205 円との差額は 65 円で、その差は 10 円玉と 5 円玉の金額差 5 円の積み重なりによって生じたものですから、

65 ÷ 5 = 13 枚

だけ枚数が多すぎたのです。よって

10 円玉は 13 枚、5 円玉は 15 枚

となります。

④ 100 円玉が 1 枚のとき
 残りの金額は 305 円ですが、仮に残りの 29 枚の硬貨全てが 10 円玉であったとしても 10 × 29 = 290 円となって足りません。

 以上より条件を満たすのは ③ だけで、答えは

100 円玉 2 枚、10 円玉 13 枚、5 円玉 15 枚

となります。念のために検算しておくと

100 × 2 + 10 × 13 + 5 × 15 = 405 円

となって確かに合っていますね。 ≫ [問題53] ブログのアクセス数 ≫ 算数問題31-60

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