百円玉と十円玉と五円玉

算数問題52 百円玉と十円玉と五円玉

 百円玉十円玉五円玉 が合わせて 30 枚あって合計金額は 405 円です。それぞれの硬貨の枚数を求めてください。
 
【ヒント】つるかめ算ですが「つるとかめ、それにもう1つ」(百円玉と十円玉、それに五円玉)という感じの変形版です。方程式であれば変数3つに条件式2つの不定方程式ですから枚数が定まらないように思えますが … でも決まるのです。百円玉に着目してください。

【解答】合計金額が 405 円ですから、百円玉の枚数にはかなり制限があります。この点に着目して、百円玉の枚数によって場合分けしてみます。

① 百円玉が 4 枚のとき
 残りの金額は 5 円となってしまいます。
 これは五円玉 1 枚ぶんしか残らないので論外です。

② 百円玉が 3 枚のとき
 残りの金額は 105 円です。仮に残りの 27 枚の硬貨全てが五円玉であったとしても(実際には最低でも十円玉を 1 枚使う必要があります)、その金額は 5 × 27 = 135 円となって、これだけで残りの金額を超えてしまいます。ですから百円玉が 3 枚ということもありません。

③ 百円玉が 2 枚のとき
 残りの金額は 205 円です。仮に残りの 28 枚の硬貨が全て五円玉であったとすると 5 × 28 = 140 円となります。 205 円との差額は 65 円で、その差は十円玉と五円玉の金額差 5 円の積み重なりによって生じたものですから、

65 ÷ 5 = 13 枚

だけ枚数が多すぎたのです。よって

十円玉は 13 枚、五円玉は 15 枚

となります。

④ 百円玉が 1 枚のとき
 残りの金額は 305 円ですが、仮に残りの 29 枚の硬貨全てが十円玉であったとしても 10 × 29 = 290 円となって足りません。

 以上より条件を満たすのは ③ だけで、答えは

百円玉 2 枚、十円玉 13 枚、五円玉 15 枚

となります。念のために検算しておくと

100 × 2 + 10 × 13 + 5 × 15 = 405 円

となって確かに合っていますね。

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