数学問題の作り方

問題作成には頭を悩ませています

 学校や塾で数学の先生をしておられるかたであれば、試験の問題作成に頭を悩ませることも多いかと思います。当サイトの演習問題のコーナーにも BlogCat オリジナルの問題を載せることがあるのですが、私もやっぱり悩みます。他のどの記事よりもオリジナル問題が一番難しいですね。ミスをしたら致命的なので(と言いつつ何度もやらかしていますが)、本当に神経を使います。そこで今回は BlogCat がどのように問題を作成しているのか、その過程を公開してみたいと思います。
 

BlogCat の問題作成法

解答から逆順に考えます

 簡単な問題を作成するときは解答から逆順に考えます。
 たとえば「 3 方程式の解を求めなさい」という問題。
 これは因数分解した形を先に書きます。
 
\[(x-1)(x-2)(x-3)=0\]
 解が先にわかっているので解答手順を記述するときにミスを減らせます。
 上の式を展開して
 
\[x^3-6x^2+11x-6=0\]
を解きなさい、という問題にするわけです。とはいえ、この展開計算でミスをする可能性もあるので、最後に $x=1,\:2,\:3$ を代入して方程式が満たされていることをチェックしておきます。
 

Excel を活用します

 問題作成には Excel がとても役に立ちます。最近出題した 公比の異なる 3 つの数列を加えます という問題でも、初項 $1$、公比 $2,\:5,\:7$ という 3 つの数列を Excel のワークシートにデータを作成することで計算ミスを回避しています。

 Excelで問題作成
 

最先端の研究を題材にします

 数学の最先端の研究を題材にすることもあります。ブロカールの問題 では、『ポール・エルデシュの予想』という未解決問題を題材に問題を作成しました。「$n!+1=m^2$ を満たす自然数 $(m,\:n)$ は 3 組しか存在しない」という予想なのですが、この 3 組を見つけてもらおうという問題です。3 組は $m\lt 10$ の範囲にすべて存在しますが(ただし問題文には指定範囲内に 3 組すべてがあるとは明示していません)、それなりの工夫をしないと簡単には見つからないので「やや難」ぐらいの水準の問題となっています。
 

好奇心の赴くままに?

 でもやはり「もしこうすると、いったいどうなるのだろう?」という数学的好奇心をそのまま問題という形で提示できたときが一番楽しいですね。たとえば、円周上の接線と x 軸、y 軸によって囲まれる三角形の面積 がその一例です。

 接点の位置によって三角形の面積がどのように変化していくのかを調べる問題ですが、実はこれはよく知られているある関数の形そのものなのです。私自身も思っていなかったような結果だったので、こういう小さな発見を伝えることが嬉しかったりします。
 

問題作成法を教えてください

 もし読者の中に数学の先生がおられましたら、「私はこのように問題を作成しています」ということをコメントしていただけると嬉しいです。私も色々な人の問題作成法を参考にしたいので、ぜひよろしくお願いします (^-^)/。

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