二解の比が1:2になるように定数を定めます

【AG17】二解の比が1:2になるような定数k

二次方程式 $x^2-3kx-4(k-1)=0$ の２つの解の比が $1：2$ になるように定数 $k$ を定めて解を求めてください。
 
【ヒント】問題文に素直にしたがって解を設定します。
　
【解答】２つの解を $\alpha ,2\alpha$ とおくと、解と係数の関係より
 $$3\alpha =3k,2{\alpha }^2=4(k-1)$$
となるので、$\alpha =k$ であることがわかります。上の２式から $\alpha$ を消去して整理すると
 $$k^2-2k+2=0$$
という $k$ に関する二次方程式が得られるので、これを解いて
 $$k=1\pm i$$
と決まります。したがって解は
 $$1+i,2+2i$$
あるいは
 $$1-i,2-2i$$
のいずれかになります。

【AG18】二次式を一次式の積に因数分解します

二次式 $P=x^2-(2m-3y)x+m{y}^2-5y+3$ が一次式の積に因数分解できるように整数 $m$ を定めてください。
 
【ヒント】一次式となるための条件を考えましょう。最終的には $m$ に関する三次方程式が得られるはずですが、$m$ が整数であるという条件があるので、解を得るのはそれほど難しくありません。
　
【解答】$P=0$ とおいた二次方程式の解は
 $$x=\frac{3y-2m\pm \sqrt{D_1}}{2}$$
となります。ここに $D_1$ は
 $$D_1=(2m-3y{)}^2-4(m{y}^2-5y+3)$$
です。この式を $y$ について整理すると
 $$D_1=(9-4m)y^2+4(5-3m)y+4(m^2-3)$$
となります。 $P$ を $(x-\alpha )(x-\beta )$ のように因数分解したときに、括弧の中身が $x$ と $y$ の一次式であるためには、$D_1$ が
 $$D_1=(x-\gamma {)}^2$$
という形になっている（方程式 $D_1$ が重解をもつ）必要があります。ややこしいですけど判別式 $D_1$ の判別式 $D_2/4=0$ が条件となります。
 $$\frac{D_2}{4}=4(3m-5{)}^2+4(m^2-3)(4m-9)=0$$
これを整理すると
 $$2m^3-21m+26=0$$
という方程式を得ることができます。整数解を求めるので、もう少し書き換えて
 $$m(21-2m^2)=26$$
とします。右辺の数字 $26$ は
 $$26=1\cdot 26,(-1)\cdot (-26),2\cdot 13,(-2)\cdot (-13)$$
と分解できますが、方程式を満たすのは
 $$m=2,21-2m^2=13$$
という組合せだけです。よって $m=2$ が答えとなります。

【AG19】解の絶対値を解にもつ 2 次方程式

(1) 二次方程式
 $$\begin{array}{}\text{(A)}& x^2+px+mq=0\end{array}$$
の解の絶対値を解にもつ二次方程式 (B) を求めてください。
 
(2) $p=2,q=1$ としたとき、方程式 (A) と (B) と、それぞれの解を求めてください。
 
【ヒント】問題文通りに素直に解答を進めれば解けるはずです。(2) は具体例で感覚を掴んでもらうために添えた簡単な問題です。
　
【解答】２つの解を $\alpha ,\beta$ とすると、解と係数の関係を用いて
 $$\begin{array}{}\text{(1)}& \alpha +\beta =-p,\alpha \beta =q\end{array}$$
と書けます。$\alpha ,\beta$ の絶対値を解にもつ二次方程式は
 $$\begin{array}{}\text{(2)}& x^2-(|\alpha |+|\beta |)x+|\alpha ||\beta |\end{array}$$
と表すことができます。ここで $\alpha +\beta$ を計算するために $\alpha +\beta$の平方を計算します。
 $$\begin{array}{rl}(|\alpha |+|\beta |{)}^2=& {\alpha }^2+2|\alpha ||\beta |+{\beta }^2\\ =& (\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta +2|\alpha ||\beta |\\ =& p^2-2q+2|q|\end{array}$$
したがって
 $$|\alpha |+|\beta |=\sqrt{p^2+2(|q|-q)},|\alpha ||\beta |=q$$
となるので、これを式 (1) に代入して、方程式
 $$\begin{array}{}\text{(B)}& x^2-\sqrt{p^2+2(|q|-q)}x+|q|\end{array}$$
を得ます。

(2) $p=2,q=1$ を代入すると方程式 (A) と (B) は
 $$\begin{array}{}\text{(A)}& & x^2+2x+1=0\text{(B)}& & x^2-2x+1=0\end{array}$$
となります。方程式 (A) の左辺を因数分解すると
 $$(x+1{)}^2=0$$
ですから、その解は $x=-1$ となります。方程式 (B) は
 $$(x-1{)}^2=0$$
となって解は $x=1$ となり、方程式 (A) の解の絶対値となっています。

【AG20】４つの未知数を組合わせます

４つの未知数 $a,b,c,d$ が
 $$a+b=1,ab=2,c+d=4,cd=8$$
という関係を満たすとき、
 $$A=ac+bd,B=ad+bc$$
で表される $A,B$ を求めてください。
 
【ヒント】条件から $a,b$ を解とする二次方程式をつくって $a,b$ を求めることはできますが、このようにして求めた $a,b,c,d$ を使って $A,B$ の値を求めるのはかなり面倒です。もっと別の方法を考えたほうがよさそうです。いったん方針が定まるとパズルのようにするする解けますよ。
　
【解答】$A$ と $B$ を加えてみると
 $$A+B=a(c+d)+b(d+c)=(a+b)(c+d)=4$$
となります。次に $A$ と $B$ の積をつくると
 $$AB=(ac+bd)(ad+bc)=a^{2}cd+ab{c}^2+ab{d}^2+b^{2}cd$$
ここで $ab=2,cd=8$ を入れて
 $$AB=8(a^2+b^2)+2(c^2+d^2)$$
と表すことができます。ここで
 $$\begin{array}{rl}{a}^2+b^2=& (a+b{)}^2-2ab=3\\ c^2+d^2=& (c+d{)}^2-2cd=0\end{array}$$
ですから、$AB=-24$ となります。$A,B$ を解とする方程式は
 $$x^2-(A+B)x+AB=0$$
ですから、$A+B=8$ と $AB=-24$ を代入すると
 $$x^2-4x+24=0$$
となるので、これを解いて
 $$x=2\pm 2\sqrt{5}i$$
を得ます。したがって、
 $$A=2+2\sqrt{5}i,B=2-2\sqrt{5}i$$
あるいは
 $$A=2-2\sqrt{5}i,B=2+2\sqrt{5}i$$
となります。

【AG21】三次の項を含む連立方程式

$x^3+y^3=x^2+y^2=x+y$ を解いてください。（関西学院大）
 
【ヒント】式を見る限り、どう考えても $(x,y)=(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)$ 以外の解はありそうにないですが、それを確認するためにも、とにかく解いてみるしかありません。
　
【解答】$x+y=z$ とおいて２つの変数を１つにまとめてしまえれば楽になりそうです。そのためには $x+y$ を２乗したり３乗したりする必要があります。ただし、そのときに出てくる $xy$ という項も $z$ で表さなくてはなりません。大まかな方針が決まったところで解答に進みましょう。

まずは $x^2+y^2=x+y$ の方程式から変形してみます。式の途中で $x+y=z$ に置き換えます。
 $$\begin{array}{rl}& x^2+y^2=x+y\\ & \leftrightarrow (x+y{)}^2-2xy=x+y\\ & \iff z^2-2xy=z\\ & \therefore xy=\frac{z^2-z}{2}\end{array}$$
次に $x^3+y^3=x+y$ を変形します。
 $$\begin{array}{rl}& x^3+y^3=x^2+y^2\\ & \iff (x+y{)}^3-3xy(x+y)=x+y\\ & \iff z^3-3\frac{z^2-z}{2}z=z\\ & \iff z^3-3z^2+2z=0\end{array}$$
ようやく $z$ の方程式を得たので、これを解きます。
 $$z(z-1)(z-2)=0$$
より $z=0,1,2$ を得ます。あとは値ごとに場合分けします。

(ⅰ) $z=0$ のとき
 $$x+y=0,xy=0$$
なので、この方程式を満たすのは $(x,y)=(0,0)$ のみです。
 
(ⅱ) $z=1$ のとき
 $$x+y=1,xy=0$$
となって、$(x,y)=(1,0),(0,1)$ が解となります。
 
(ⅲ) $z=2$ のとき
 $$x+y=2,xy=1$$
となるので $y$ を消去すると
 $$x^2-2x+1=0$$
ですから、$(x,y)=(1,1)$ が解となります。
 
以上より与えられた方程式を満たす $x,y$ は
 $$(x,y)=(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)$$
となります。予想通りの答えでしたね。