循環しながら無限に続く数列

【算数問題69】循環しながら無限に続く数列

9 個のマス目を赤く塗って、ある数字を表すようにします。塗り方と数字の対応例をあげると、次のようになっています。



このような図をもとに、循環しながら無限に続く数列を作りました。

 0, 1, 5, 21, 22, 26, A, 43, 47, 63, 62, 58, 42, 41, B, 21, 20, 5, 0, 1, …

A と B に入る数字を当ててください。

【ヒント】以前にも似たような問題がありましたが、今回はそれに数列を絡めています。
　
【解答69】問題の図から 1 マスの値が 1 行目は 1, 2 行目は 4, 3 行目は 16 であることがわかります（つまり 4 進数表記になっています）。これを次のような手順で塗ります。


何も塗られていない状態 (0) から始めて、左の列から順に塗りながら、それぞれに対応する数字を並べています。全部塗り潰されたあとは、右上から１つずつ白くしています。そして何も塗られていない状態になったら、また左上から同じ手順で塗っていきます。図をみると答えが A = 42、B = 37 であることがわかります。

今回は記事が短かったので、おまけです。循環しながら無限に続く数列について、AIと語り合ってみました。

[Q] あなたは数学者です。循環しながら無限に続く数列について、独り言をつぶやいてください。

[A] 無限に続く数列について考えると、数学の不思議な世界が広がりますね。循環しながら無限に続く数列は、特に興味深いものの一つです。例えば、黄金比の数列（1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …）やフィボナッチ数列（0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …）などがあり、これらは数学的な美しさを持っています。無限に続く数列を解析することは、極限や収束、発散などの概念と密接に関連しており、数学者たちはこれらの数列がどのように振る舞うかを理解し、その性質を探求します。また、無限数列は数学の他の分野にも応用され、物理学や工学、統計学などで重要な役割を果たしています。無限数列についての研究は、私たちの数学的な知識を深め、新たな問題に挑戦する素材となります。この無限の旅路は、私たちが新しい発見と洞察を得るための挑戦的で魅力的な冒険です。

[Q] フィボナッチ数列は循環しないと思うのですが。

[A] ごめんなさい、私の前のメッセージに誤りがあります。フィボナッチ数列は循環しない数列であることが正確です。フィボナッチ数列は前の2つの数を足して次の数を生成する再帰的な関係を持ち、数列は無限に続きますが、同じ数が繰り返し出てくることはありません。申し訳ありません、混乱を招いてしまいました。

[Q] あらためて、循環しながら無限に続く数列を考えてください。

[A] もちろん、循環しながら無限に続く数列について考えます。循環しながら無限に続く数列は、数学的に非常に興味深いものです。例えば、円周率 π (pi) の小数部分は無限に続く循環小数であり、3.14159265358979323846… のように、特定のパターンが無限に続きます。また、無理数である円周率の小数展開は、決して循環しないため、無限に多くの桁が続きます。

別の例として、連分数展開と呼ばれるものがあります。連分数展開は有理数を無限の連分数として表現する方法で、有理数であれば有限の循環部分が現れますが、無理数の場合、循環しない連分数展開が現れます。

これらの循環しない数列や連分数展開は、数学的な美しさと奥深さを持っており、数学者はその性質や収束の概念について研究し、数学の新たな発見を得るためにさらに探求しています。無限に続く数列の数学的な性質を理解することは、数学の魅力的な側面の一つです。

[Q] 円周率の小数部分は本当に循環しますか？

[A] 申し訳ありません、前の回答に誤りが含まれていました。円周率 π (pi) の小数部分は実際には循環しません。円周率の小数展開は無限に続く非循環小数です。円周率の小数部分は無理数であるため、無限に多くの桁が続き、その中に特定の循環パターンは存在しません。円周率の小数部分は無限で非常に複雑な数列であるため、正確な値を求めるためには数学的な計算やアルゴリズムが必要です。