【算数】逆さまにすると見えるかも？

【算数問題28】逆順、逆回し、逆操作

ある自然数に対して次のような操作を繰り返します。3 で割り切れるならそのまま割りますが、割り切れないなら割り切れるまで 1 を引きます。この操作は数が 0 になるまで続けるものとします。たとえば 15 という数を例にとると、
$$15÷3=5,5-1=4,4-1=3,3÷3=1,1-1=0$$となって操作は計 5 回で終了します。操作が 4 回で終了する数を全て求めてください。
 
【ヒント】世の中、逆さまに見てみると、今まで見えていなかったものが見えたりするものです。

【解答】操作を逆にたどると簡単です。4 回目の操作で必ず
 $$1-1=0$$
となるはずですね。ではこの 1 はどうやって得られるかというと、3 回目の操作
 $$1=2-1\mathrm{or}3÷3$$
の 2 通りによって得られたはずです。2 については、3 から 1 を引かれて得られることはないので (3 のときは 3 で割られるので)、2 回目の操作
 $$2=6÷3$$
によって得られることになります。2 回目の操作で 3 が得られたのだとすると、
 $$3=4-1\mathrm{or}9÷3$$
の 2 通りが考えられます。最後に 4, 6, 9 について、1 回目の操作は
 $$\begin{array}{rl}4& =5-1\mathrm{or}12÷3\\ 6& =7-1\mathrm{or}18÷3\\ 9& =10-1\mathrm{or}27÷3\end{array}$$
がありうるので、4 回の操作で終了する数は
 $$5,7,10,12,18,27$$
となります。