【算数】逆さまにすると見えるかも？

【算数問題28】逆順、逆回し、逆操作

ある自然数に対して次のような操作を繰り返します。3 で割り切れるならそのまま割りますが、割り切れないなら割り切れるまで 1 を引きます。この操作は数が 0 になるまで続けるものとします。たとえば 15 という数を例にとると、
\[15\div 3=5,\quad 5-1=4,\quad 4-1=3,\quad 3\div 3=1,\quad 1-1=0\]となって操作は計 5 回で終了します。操作が 4 回で終了する数を全て求めてください。
 
【ヒント】世の中、逆さまに見てみると、今まで見えていなかったものが見えたりするものです。

【解答】操作を逆にたどると簡単です。4 回目の操作で必ず
 \[1-1=0\]
となるはずですね。ではこの 1 はどうやって得られるかというと、3 回目の操作
 \[1=2-1\quad\mathrm{or}\quad 3\div 3\]
の 2 通りによって得られたはずです。2 については、3 から 1 を引かれて得られることはないので (3 のときは 3 で割られるので)、2 回目の操作
 \[2=6\div 3\]
によって得られることになります。2 回目の操作で 3 が得られたのだとすると、
 \[3=4-1\quad\mathrm{or}\quad 9\div 3\]
の 2 通りが考えられます。最後に 4, 6, 9 について、1 回目の操作は
 \[\begin{align*}4&=5-1\quad\mathrm{or}\quad 12\div 3\\[6pt]6&=7-1\quad\mathrm{or}\quad 18\div 3\\[6pt]9&=10-1\quad\mathrm{or}\quad 27\div 3\end{align*}\]
がありうるので、4 回の操作で終了する数は
 \[5,\ 7,\ 10,\ 12,\ 18,\ 27\]
となります。