【算数】11で割ると商と余りの数が同じになる自然数

【算数問題31】11 で割ると商と余りの数が同じになります

　11 で割ると商と余りが同じになるような自然数 を全て求めてください。
　
【ヒント】問題の条件に当てはまる数字を１つ見つけてみましょう。

【解答】まずは 11 で割り切れる数 を探してみましょう。
　いちばん簡単な数は 11 自身です。あえて書くなら
　
$$11÷11=1$$
です。きっちり割り切れます（当たり前です）。そして割られる数の 11 に 1 を加えて 12 としてみると
　
$$12÷11=1\cdots 1$$
となりますね。なので 12 は問題の条件に合う数の 1 つです。もう１つだけ考えてみましょう。 22 もまた 11 で割り切れますね。
　
$$22÷11=2$$
　そして 22 に 2 を足すと商と余りの数を同じにすることができます。
　
$$24÷11=2\cdots 2$$
　これで法則がわかりましたね。あとは同じように
　
$$\begin{array}{rl}33+3& =36\\ 55+5& =60\\ 66+6& =72\\ 77+7& =84\\ 88+8& =96\\ 99+9& =108\\ 110+10& =120\end{array}$$
というように数を作っていけば良いのです（途中で 12 の倍数であることに気づけばもっと簡単に計算できます）。しかし、これが永遠に続くわけではありません。 120 については
　
$$120÷11=10\cdots 10$$
となってちゃんと条件に合っていますけど、その次の数
　
$$121+11=132$$
については
　
$$132÷11=12$$
と割り切れてしまいます。商が割る数を超えてしまっているのです。となると、次は商が 12 で余りが 12 という数を見つけなくてはいけないのでしょうか？　そんな数はありえないのです。 11 で割っているのに 12 も余っていたら変です（もしそうなったら計算間違いです）。11 で割ったときは、その余りは 11 より小さくなっていなければなりません。なので 120 までが限界。正解をまとめると
　
$$12,24,36,48,60,72,84,96,108,120$$
の合計 10 個ということになります。

【補足】数学的に解くと次のようになります。商と余りを $a$ とおいて
　
$$N=11a+a=12a(a\le 10)$$
と書けるので、$N$ は $12$ の倍数です。$a\le 10$ の範囲で並べると
　
$$12,24,36,48,60,72,84,96,108,120$$
となります。