算数問題の代表選手(?)つるかめ算を解きましょう

 算数といえば、やっぱり つるかめ算
 大人でもけっこう苦手な人が多いようです。
 算数なので方程式を使うのは禁止です! 真向勝負で解いてくださいな。

【算数問題02】つるさんとかめさん、それぞれいくつ?

 つるとかめが合わせて 10 で、足数の合計は 26 本です。つるとかめは、それぞれいくついますか?

【ヒント】全体の差 を使う有名な解き方と、ちょー簡単な方法がありますよ。
 え? 「ちょー簡単な方法」を教えてほしい? それは解答を見てのお楽しみです♪


【解答①】つるかめ算の基本的な考え方 に沿って解いていきます。
 下図を参照しながら解説を読んでください。

 つるかめ算図

 とりあえず「全部かめだったら足数の合計は 40 本だね」と考えます。
 それを図にすると、縦を「かめの足数 4 」、横を「(仮の)かめの数 10 」とした緑色の長方形の面積に相当します。でも実際には全部かめのはずはないので、その下にあるように「つるの足数の合計」を示す青い長方形と「かめの足数の合計」を示す赤い長方形の合わさった L 字型図形になっているはずです。その合計は問題文に 26 と与えられていますね。
 そして先ほどの大きな長方形の面積 40 から、この L 字型図形の面積 26 を引いた灰色部分に注目すると、その面積は
 
\[足数の差の合計(全体の差)=40-26 = 14\]
となっていますね。これは横が「つるの数」、縦が「かめとつるの足数の差」ですから、「かめとつるの足数の差 = 2 」で割ると「つるの数」が得られるという仕組みになっています。
 
\[つるの数=足数の差の合計\div かめとつるの足数の差=14\div 2=7\]
ですから、かめの数は
 
\[かめの数=10-7=3\]
となります。
 
【解答②】それではお待たせしました。ちょー簡単な解き方です。かめの足の総数は 4 の倍数、つるの足の総数は 2 の倍数になっているはずです。ということは、つるとかめの足数の合計 26 を 4 の倍数と 2 の倍数の足し算で表せばよいのです。(  )の中に分けた数字を 4 と 2 で割った数字(それぞれ、かめとつるの数です)とその合計が示されています。
 
\[\begin{align*}&26=4+22\quad(かめ1匹、つる11羽\quad合計12)\\[6pt]
&26=8+18\quad(かめ2匹、つる9羽\quad 合計11)\\[6pt]
&26=12+14\quad(かめ3匹、つる7羽\quad 合計10)\end{align*}\]
 はい。つるとかめの合計がちょうど 10 になりましたので、かめ 3 匹、つる 7 羽が正解です。

 かめ 1 匹という正解はあまりなさそうだと考えて、26 = 8 + 18 から始めるともっと早く答えがでますよ。暗算が得意な人は頭の中で割り算しながらいきなり 26 = 12 + 14 を見つけることもさほど難しくありません。文字通り「つるとかめ」が登場する問題では必ず 4 の倍数と 2 の倍数を使うので、ほとんどこの方法で解けますが、「買い物問題」など、もう少し数字が大きくなると倍数の足し算を見つけることが面倒な場合もあります。でも心配ご無用! 次回、ほとんどの問題で通用する「つるかめ算」の解法を紹介する予定です。

エクセルや数学に関するコメントをお寄せください

  1. あとりえこばと より:
    ChatGPTがつるかめ算に挑戦!

    今回の問題を ChatGPT に解いてもらいました。
    [Q] つるとかめが合わせて 10 で、足数の合計は 26 本です。つるとかめは、それぞれいくついますか?
    [ChatGPT] つるを x とし、かめを y とすると、つるとかめが合わせて10匹であることから、x + y = 10 となります。また、足数の合計が 26 本であることから、2x + 4y = 26 となります。以上の2つの式から、xとyを求めることができます。まず、x + y = 10 から x = 10 – y とすると、2x + 4y = 26 の式に代入して、2(10-y) + 4y = 26 となります。これを整理すると、y = 3 となります。従って、x = 10 – y = 7 です。つるが 7 匹、かめが 3 匹いるため、合わせて 10 匹、足数の合計は 2×7 + 4×3 = 26 本になります。よって、答えはつるが 7 匹、かめが 3 匹です。
     
    [こばと] おっと。方程式を使って解いてしまいました。私の訊き方が悪かったですね。条件をつけて、解き直してもらいましょう。
    [Q] 上の問題を「つるかめ算」を用いて解いてください。
    [ChatGPT]「つるかめ算」とは、和を10、積を30にする2つの数を求める問題です。この問題は、つるをx、かめをyとした場合に、以下の方程式を解くことで答えを求めることができます。
     x + y = 10
     xy = 30
     まず、x + y = 10 から、y = 10 – x と式変形します。これを xy = 30 の式に代入して、x(10 – x) = 30 となります。これを展開して整理すると、x^2 – 10x + 30 = 0 という2次方程式が得られます。この2次方程式を解くと、x = 7 または x = 3 が得られます。つまり、つるが7匹の場合と、かめが7匹の場合の2通りの可能性があります。しかし、足の本数の合計を考えると、つるが7匹、かめが3匹の場合が正解です。つるが1匹あたり2本、かめが1匹あたり4本の足を持っているため、つるが7匹、かめが3匹の場合の足の本数の合計は、2×7 + 4×3 = 26 となります。従って、答えはつるが7匹、かめが3匹です。
     
    [こばと] … 意味不明。ChatGPT さんは「つるかめ算」を知らないのかな。