Excel VBA 数学教室ではアフィリエイトプログラムを利用して商品を紹介しています。

0は実数？ 虚数？

2016.07.15

0は実数？ それとも虚数？

複素数 z=a+bi において a=b=0 とすると 0 となりますが、この 0 は 実数なのか、それとも虚数なのか迷ったことはありませんか？
 
結論を言うと虚数の定義によって、0は実数とされています。

複素数 z=a+bi において、実数と虚数は以下のように定められています。
 
① b=0 ならば実数
② b≠0 であるときに虚数
③ 特に a=0 かつ b≠0 であるときに純虚数
 
a=b=0 のとき z=0 となるので、0 は条件 ① を満たす数となり、実数の範疇に含まれることになります。このように定義を丁寧に読めば、疑問は解決しますが、なんとなくもやもやした気分が残りますね。実はハミルトン表式で複素数を扱うと、0とは2組の実数であるという明快な定義を得ることができます。

ハミルトンの複素数

William Rowan Hamilton は複素数を２つの実数の組
 α=(a,b)
として定義しました。たとえば実数 1 は
 (1,0)
と表し、虚数単位 i は
 (0, 1)
と表されます。また複素数 1+i は
 (1, 1)
となります。この定義では i という虚数単位は一切現れず、ただ実数のみで表記されます。そして任意の２組の複素数
 α=(a, b),β=(c, d)
に対して加算と乗算だけを定義しておきます。
 α+β=(a+b, c+d),αβ=(ac−bd, ad+bc)
この定義にしたがうと、たとえば i2 は
 (0, 1)(0, 1)=(−1, 0)
となります。加算が定義されていれば、γ=(e, f) とおいて、減算 γ=α–β は α=β+γ すなわち
 (a, b)=(c, d)+(e, f)
を満たす複素数なので
 a=c+e,b=d+f
より
 e=a−c,f=b−d
と定まります。つまり複素数同士の減算は
 α−β=(a−c,b−d)
となります。また乗算が定義されているなら、δ=(g, h) とおいて、除算 δ=α/β は α=δβ すなわち
 (a, b)=(g, h)(c, d)=(gc−hd, gd−hc)
を満たす数です。この式から g, h を求めると複素数の除算
 αβ=(ac+bdc2+d2, bc−adc2+d2)
が得られます。このような定義に従えば a+bi には実数と虚数の足し算も含まれず、また実数と虚数の掛け算もありません。虚数単位はあくまで (a,b) を a+bi と表すための記号表記に過ぎないと考えるのです。そして 0 は (0,0) という「２つの実数 0 の組」と考えることになります。

エクセルや数学に関するコメントをお寄せください

  1. なすび より:
    2021年8月14日 3:31 PM

    ０は偶数？奇数？とふとした疑問を持ってもやもやしていたのですが、こちらに来て、すごくすっきりしました。ありがとうございました。
    私は数学が苦手で、もうはるか昔の高校時代は常に赤点でした。（実は、この記事でもγが出たあたりからぼんやりしだしました。すみません。)
    　
    そんな拙い知識で、考えたのが下記３点で、
    ・奇数と偶数は交互に現れている…０は偶数？
    ・偶数は２で割り切れる
    しかし０は何で割っても０…偶数か奇数かは不明
    ・２で割れるという事を、同量に分けれると考えたら、０という状態は、
    １＋(ー１)＝０
    又は５００＋(ー５００)＝０
    ーと＋が同量の状態の(１と−１が揃った）とき、０が現れる？…しかし、０をマイナスとプラスが揃った状態と考えるのは何かもやもやする。
    と、もやもやしていたのですが、こちらの記事と関連記事を読んで、とてもすっきりしました。
    　
    ０は偶数。
    １＋(−１)＝０ですが、そういう外的要因？ではなく、０が実数であるという０についての証明を読むことが出来てすっきりしました。とてもありがとうございました。

    返信
    • Blog Cat より:
      2021年8月14日 4:41 PM

      コメントありがとうございます。疑問の解決にお役に立てて嬉しいです。
      「0 の偶奇」や「負の数同士の掛け算が正の数になる理由」など、基本的なところが学校の教科書ではきちんと説明されていないので、こういう部分で引っかかる人は意外と多いみたいです。数学は「どの部分が定義で、どこからが定理（定義から導かれる事柄）なのか」を意識して学ぶと、一本筋の通った理解を得ることができます。今後もぜひ当サイトを御活用ください。質問も随時受け付けていますので、何か疑問点があれば、遠慮なくコメントお寄せください。

      返信
      • なすび より:
        2021年8月16日 3:55 PM

        ご返信ありがとうございます。
        定義と定理があるのですね。また、もやが少し晴れた気がします。ありがとうございます。また何か疑問点が浮かんだ時は、こちらのサイトを活用させて頂きたいと思います。本当にありがとうございました。

        返信