地球と火星が最も近づく日（会合周期の計算）

【算数問題54】地球と火星の会合周期

太陽、地球、火星の順に一直線に並ぶことを合（ごう）とよびます。合のとき、地球と火星はお互いに最も近づくことになります。そしてある合から次の合までの日数を会合周期とよびます。地球と火星はそれぞれ $365$ 日と$687$ 日で太陽の周りを一周するものとします。地球と火星の会合周期を求めてください（小数点以下は四捨五入して日数単位で答えてください）。

【ヒント】時計算の応用です。計算を簡単にするために、地球の公転周期 $365.26$ を $365$ 日に近似したりしていますが、それでも、かなりの精度で答えが出ます。ぜひ挑戦してみてください。
 
【解答】まず地球と火星がそれぞれ「$1$ 日にどれだけの角度を移動するのか」ということを考えます。地球は $365$ 日で $1$ 周、つまり ${360}^{\circ }$ 動くのですから、$1$ 日あたりでは
 $$\frac{{360}^{\circ }}{365}$$
だけ公転することになりますね。火星については $687$ 日で $1$ 周するので、$1$ 日当たり
 $$\frac{{360}^{\circ }}{687}$$
だけ公転します。今度は地球と火星の相対速度（相対角速度）を求めてみます。つまり「火星から見て地球はどれぐらいの速さで動いているのか」ということを計算するのです（時計算における長針と短針の関係です）。地球のほうが火星より速く動くので、地球の速さから火星の速さを引き算します。
 $$\frac{{360}^{\circ }}{365}-\frac{{360}^{\circ }}{687}={360}^{\circ }(\frac{1}{365}-\frac{1}{687})$$
この速さで次に会合するまでの ${360}^{\circ }$ を縮めるまでにかかる時間は
 $${360}^{\circ }÷{360}^{\circ }(\frac{1}{365}-\frac{1}{687})=365\times \frac{687}{322}$$
を計算すればよいことになります。ちょっと大変ですけど、頑張って計算すると $779$ 日となります。
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