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地球と火星が最も近づく日(会合周期の計算)

【算数問題54】地球と火星の会合周期

地球と火星の会合周期を計算太陽、地球、火星の順に一直線に並ぶことを(ごう)とよびます。合のとき、地球と火星はお互いに最も近づくことになります。そしてある合から次の合までの日数を会合周期とよびます。地球と火星はそれぞれ $365$ 日と$687$ 日で太陽の周りを一周するものとします。地球と火星の会合周期を求めてください(小数点以下は四捨五入して日数単位で答えてください)。

【ヒント】時計算の応用です。計算を簡単にするために、地球の公転周期 $365.26$ を $365$ 日に近似したりしていますが、それでも、かなりの精度で答えが出ます。ぜひ挑戦してみてください。
 
【解答】まず地球と火星がそれぞれ「$1$ 日にどれだけの角度を移動するのか」ということを考えます。地球は $365$ 日で $1$ 周、つまり $360^\circ$ 動くのですから、$1$ 日あたりでは
 \[\frac{360^\circ}{365}\]
だけ公転することになりますね。火星については $687$ 日で $1$ 周するので、$1$ 日当たり
 \[\frac{360^\circ}{687}\]
だけ公転します。今度は地球と火星の相対速度(相対角速度)を求めてみます。つまり「火星から見て地球はどれぐらいの速さで動いているのか」ということを計算するのです(時計算における長針と短針の関係です)。地球のほうが火星より速く動くので、地球の速さから火星の速さを引き算します。
 \[\frac{360^\circ}{365}-\frac{360^\circ}{687}=360^\circ\left(\frac{1}{365}-\frac{1}{687}\right)\]
この速さで次に会合するまでの $360^\circ$ を縮めるまでにかかる時間は
 \[360^\circ\div360^\circ\left(\frac{1}{365}-\frac{1}{687}\right)=365\times\frac{687}{322}\]
を計算すればよいことになります。ちょっと大変ですけど、頑張って計算すると $779$ 日となります。
≫【問題61】正八角形と辺を共有する三角形

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