地球と火星が最も近づく日（会合周期の計算）

算数問題54　地球と火星の会合周期

　太陽、地球、火星の順に一直線に並ぶことを合（ごう）とよびます。つまりこのとき、地球と火星はお互いに最も近づくことになります。そしてある合から次の合までの日数を会合周期とよびます。地球と火星はそれぞれ 365 日と687 日で太陽の周りを 1 周するものとします。地球と火星の会合周期 を求めてください（小数点以下は四捨五入して日数単位で答えてください）。
　
【ヒント】時計算 の応用です。計算を簡単にするために、地球の公転周期 365.26 を 365 日に近似したりしていますが、それでもかなりの精度で答えが出ます。ぜひ挑戦してみてください。

【解答】まず地球と火星がそれぞれ「1 日にどれだけの角度を移動するのか」ということを考えます。地球は 365 日で 1 周、つまり 360° 動くのですから、 1 日あたりでは
　
\[\frac{360^\circ}{365}\]
だけ公転することになりますね。火星については 687 日で 1 周するので、1 日当たり
　
\[\frac{360^\circ}{687}\]
だけ公転します。今度は地球と火星の相対速度（相対角速度）を求めてみます。つまり「火星から見て地球はどれぐらいの速さで動いているのか」ということを計算するのです（時計算における長針と短針の関係です）。地球のほうが火星より速く動くので、地球の速さから火星の速さを引き算します。
　
\[\frac{360^\circ}{365}-\frac{360^\circ}{687}=360^\circ\left(\frac{1}{365}-\frac{1}{687}\right)\]
　この速さで次に会合するまでの 360°を縮めるまでにかかる時間は
　
\[360^\circ\div360^\circ\left(\frac{1}{365}-\frac{1}{687}\right)=365\times\frac{687}{322}\]
を計算すればよいことになります。ちょっと大変ですけど、頑張って計算すると

778.7 ≒ 779 日

が得られます。