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数学公式集

乗算表(乗法表)を用いて一次合同方程式を解く

乗算表(乗法表) ある法 (mod) における剰余類ごとの掛け算をまとめた 乗算表(乗法表) を用意しておくと計算するときに便利です。特に合同式の割り算をするときには重宝します。$\mathrm{mod}\;7$ における乗算表は次のように...
数学公式集

整数環のイデアルと剰余環

整数環のイデアルと剰余環(単位元をもつ可換環) $m$ を整数とするとき、$m$ の倍数の集合を   \ と書きます。たとえば偶数全体の集合は   \ のように表されます。また整数全体の集合 $\mathbb{Z}$ を   ...
数学演習と解答

Excel で直角三角形の斜辺と底辺に挟まれた角度を求めます

斜辺と底辺に挟まれた角度を求めます 図のように底辺と高さがそれぞれ 9cm , 5cm の直角三角形があります。    Excel関数を用いて θ = ∠CAB の値を度数単位 (°) で求めてください。 【ヒント】  少...
数学公式集

整数の合同演算・完全剰余系

整数の合同と不合同 1 に 7 を加えながら数字を並べてみます。   \  並べた数字はいずれも 7 で割ると 1 余ります。そこで、これらは同じ種類の数であると考えて $\equiv$ という記号で結ぶことにします。   \ ...
数学公式集

√2 が無理数であることの証明

 数論は主に整数を扱いますが、その定理が整数以外の数の重要な性質を明らかにすることもあります。その一例が素因数分解による無理数性の証明です。厳密には素因数分解の一意性が前提となっています。 $\sqrt{2}$ が無理数であることを証明し...
Excel VBA

[VBA] 2 次方程式の係数を漸化式で定めます

2次方程式の係数を漸化式で定めます ふとした思いつきで、こんなことを試してみました。   \ という 2 次方程式を考え、係数 $a_{n+1}$ と $a_n$ は漸化式によって値を定めて、その解を複素平面上に描いてみようという試み...
数学公式集

素数が無限に存在することの証明

素数が無限に存在することの証明 素数が無限に存在することは、今から 2000 年以上も昔に証明されています。ユークリッドの『原論』第 9 巻命題 20 には驚くほど簡単な証明法が載せられています。 素数は無限に存在します 定理 B7(...
数学公式集

合成数 N は 1 より大きく √N 以下の約数をもちます

 今回からいよいよ素数に関する定理が登場します。 素数と合成数 まずは素数と合成数を定義しておきます。  1 以外の自然数で、1 と 自身以外に正の約数をもたない数を 素数 (prime number)、1 でも素数でもない数を 合成数...