数学公式集

この記事では、区間内に不連続点がある場合の積分、あるいは無限区間における積分について解説します。 広義積分不連続な関数の積分関数 $f(x)$ が $a<x\le b$ で連続であって、 \ が存在するとき、$f(x)$ は $a\...

この記事では区間縮小法を証明し、そこから有界な数列が収束する部分列をもつこと（ボルツァノ-ワイエルシュトラスの定理）を導きます。 区間縮小法次のような数列 $a_n,b_n$ を考えてみます。 \ $a_n$ は 0 から 1 に、$b...

ロピタルの定理0/0 の不定形の極限値を求めるときに、次のロピタルの定理（L'Hospital's rule）が役立つときがあります。 関数 $f(x)$ と $g(x)$ が $$ で連続、区間内で微分可能、$g^{\prime }(x)\ne 0$ ...

テイラー展開関数 $y=f(x)$ のマクローリン展開 \ の右辺の $x$ を $x-a$ , 0 を $a$ で置き換えると点 $a$ の近くにおける近似式となります。 \&+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R...

関数の多項式近似ある関数 $y=f(x)$ を $x=0$ 付近で次のような多項式で近似する方法を考えます。 \ まず $x=0$ で $f(0)$ に一致していないと話にならないので、$a_0=f(0)$ というように定数項が定まります。...

単調増加と単調減少関数 $f(x)$ が区間 $$ で微分可能、$(a,b)$ で $f^{\prime }(x)>0$ であるとします。このとき 平均値の定理 によって \ となる $c$ が存在しますが、$b=a+\mathrm{\Delta }x$ とおくと...

この記事では、最初にロルの定理を証明し、そこから平均値の定理、コーシーの平均値の定理といった、より汎用性の高い定理を示していきます。 ロルの定理【ロルの定理】関数 $f(x)$ が $a\le x\le b$ で連続、$a \lt ...

ネイピア数の定義と計算方法ネイピア数（Napier's number） は次のように定義されます。 \ $a_n=(1+1/n)$ に $n$ の具体的な値を入れると \a_{100}=2.70481\a_{1000}=2.71692\...