数学公式集

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順列(円順列・同じものを含む順列・重複順列)

  順列 (Permutations)   円順列 (Circular Permutations)   首飾り順列 (Necklace Permutations)   同じものを含む順列 (Permutations of Multis...
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陽関数と陰関数

陽関数 一変数関数が $y=f(x)$ の形で表されるとき、$y$ を $x$ の 陽関数 (explicit function) であるといいます。たとえば   \ などと書かれたとき、$y$ は $x$ の陽関数です。同様に 2 ...
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全微分(二変数関数の微小変化)

二変数関数の微小変化 $z=f(x,y)=x^2+y^2$ において、変数 $(x,\:y)$ を点 $(1,\:1)$ から $(1.1,\:1.1)$ まで変化させたときに、$z$ がどの程度変化するのか計算してみます。   \&=...
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曲線の長さ (弧長)

曲線の長さ(弧長) 下図のように区間 $$ を $n$ 個の小区間に分割します。    $\Delta x=x_k-x_{k-1}$ が十分に小さければ、弧長 $P_{k-1}P_k$ は線分 $P_{k-1}P_k$ で近似で...
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調和級数と交代調和級数

  調和級数 Harmonic series   交代調和級数 Alternating harmonic series  調和級数 Harmonic series $a_n=1/n$ を順に足し加えていく級数を 調和級数 (harm...
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交代級数と絶対収束級数、条件収束級数

 ある条件のもとで交代級数が収束することを示し、また絶対収束と条件収束の定義について解説します。  交代級数 各項の符号が交互に入れ替わる次のような無限級数を考えてみます。   \  これだけ見ても、足される部分と引かれる部分の寄与...
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グレゴリー級数とマチン級数

グレゴリー級数 逆正接関数 (アークタンジェント) の級数展開を求め、円周率の近似値を計算する式(グレゴリー級数 と マチン級数 を導きます。 逆正接関数の級数展開 逆正接関数を級数展開するために、まずは $f(x)=1/(1-x)$ を...
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二変数関数の極限と連続・編導関数

二変数関数 二変数 $(x,\:y)$ の組に対して $z$ の値が決まるとき、$z$ は $x$ と $y$ の関数 (function) といい、   \ と表します。ここで $x$ と $y$ を独立変数 (independen...