数学公式集

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二変数関数の極限と連続・編導関数

二変数関数 二変数 $(x,\:y)$ の組に対して $z$ の値が決まるとき、$z$ は $x$ と $y$ の関数 (function) といい、   \ と表します。ここで $x$ と $y$ を独立変数 (independen...
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広義積分とコーシーの主値積分

  広義積分 Improper integral   コーシーの主値積分 Cauchy's principal value of integral  この記事では、区間内に不連続点がある場合の積分、あるいは無限区間における積分について解...
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区間縮小法とボルツァノ – ワイエルシュトラスの定理

 この記事では区間縮小法を証明し、そこから有界な数列が収束する部分列をもつこと(ボルツァノ - ワイエルシュトラスの定理)を導きます。 区間縮小法 次のような数列 $a_n,\:b_n$ を考えてみます。   \  $a_n$ は ...
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ロピタルの定理で不定形極限値を求めます

ロピタルの定理 0/0 の不定形の極限値を求めるときに、次の ロピタルの定理 (L'Hospital's rule) が役立つときがあります。  関数 $f(x)$ と $g(x)$ が $$ で連続、区間内で微分可能、$g'(x) \n...
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テイラー展開とテイラー級数

テイラー展開 関数 $y=f(x)$ の マクローリン展開   \ の右辺の $x$ を $x-a$ , 0 を $a$ で置き換えると点 $a$ の近くにおける近似式となります。   \&+\frac{f^{(n)}(a)}{n...
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マクローリン展開(関数を多項式で近似します)

関数の近似 Approximate expression ある関数 $y=f(x)$ を $x=0$ 付近で次のような多項式で近似する方法を考えます。   \  まず $x=0$ で $f(0)$ に一致していないと話にならないので、...
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関数の増減(極大値と極小値の判定法)

単調増加と単調減少 関数 $f(x)$ が区間 $$ で微分可能、$(a,\:b)$ で $f'(x) \gt 0$ であるとします。このとき平均値の定理によって   \ となる $c$ が存在しますが、$b=a+\Delta x$ ...
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ロルの定理と平均値の定理

ロルの定理 関数 $f(x)$ が $a \leq x \leq b$ で連続、$a \lt x \lt b$ で微分可能で、 \であるならば、 \となるような実数 $c$ が少なくとも1つ存在します。  ロルの定理 (Rolle's...
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