数学公式集

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確率密度と累積分布関数

確率密度 確率変数 $X$ が離散的で有限個の値   \ をとるとき、$x_i\:(i=1,\:2,\cdots\:n)$ となる確率を   \ と表すことにします。これを全ての実数 $x$ に拡大した関数   \0 & (...
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確率変数と確率分布(離散変数と連続変数による定義)

確率変数と確率分布  Random variable and Probability distribution 2 枚の硬貨を 1 回投げる試行において、表の出る枚数を $X$ とおきます。「表が出る」という事象を H,「裏が出る」という...
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独立試行の確率と反復試行の確率

独立試行の確率 硬貨を続けて投げる試行を考えるます。  1 回目に表 (head) あるいは裏 (tail) のどちらが出たとしても、2 回目の試行に影響を与えません。1 回目に表が出る確率は 1/2 であり、2 回目に表が出る確率もまた...
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条件つき確率と乗法定理

条件付き確率 ある事象 $A$ が起こったときに事象 $B$ が起こる確率を 条件付き確率 (conditional probability) とよび、$P(B|A)$ と表します。    上図のように標本空間 $S$ の中に事...
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確率の基本性質(加法公式・排反事象・余事象)

確率の加法公式 標本空間 $S$ の事象 $E$ に含まれる根源事象の数 $n(E)$ は   \ を満たす数です。$n(E)=0$ となるのは $E$ が決して起こらない事象であるときで、このような事象を 空事象 (empty ev...
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確率の定義(事象と標本空間)

 サイコロを繰り返し何度も振れば、1 から 6 の目が均等な割合で出ることは経験的に知られています。市販のサイコロは商品として出荷される前に検品されて、大半の不良品は弾かれているでしょうから、割合が均等であるという信頼があるわけです。ただし...
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集合の演算(交換、結合、分配)

集合の定義(有限集合と無限集合) たとえば「 8 以下の自然数」を書き並べて   \ のように範囲が定まった集まりをつくります。このような集まりのことを 集合 (set) とよびます。そして集合を構成している個々のものを 要素 (el...
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組合せと重複組合せの公式

組合せ(Combination) まずは 順列 の復習です。4 種類のアルファベット {a, b, c, d} から 3 つを取り出して 1 列に並べる方法は何通りあるか計算してみましょう。   \ 通りですね。この中に含まれる順列は...