数学公式集

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ロジスティックモデル(人口増加曲線)

ロジスティック・モデル Logistic Model 一般的に都市や国などの限られた範囲において、人口が無制限に増加し続けることはありません。住める土地や食料供給量に限りがあるのですから、必ず上限があるはずです。ロジスティック・モデル は人...
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変数分離型

変数分離型 次のような微分方程式   \ を考えます。右辺が $x$ の関数 $X(x)$と $y$ の関数 $Y(y)$ の積となっています。このような形の微分方程式を 変数分離型 といいます。ただし $y$ は $x$ の関数 $...
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超関数とディラックのデルタ関数

 このページでは冒頭で超関数について簡単に触れ、その中のひとつであるディラックのデルタ関数について解説します。  超関数 Distributionテスト関数 超関数の性質を調べるときには、テスト関数 $\phi(x)$ というものを多用し...
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パーセバルの定理とウィーナー・ヒンチンの定理

パーセバルの定理 ある関数 $f(t)$ のフーリエ変換を   \ とします。このとき $\mid f(t)\mid^2$ の全変域にわたる積分は   \ となります。これを パーセバルの定理 とよびます。物理学におけるエネルギ...
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モーメント定理

モーメント定理 関数 $f(x)$ の $n$ 次のモーメントは次のように定義されます。   \  これは確率や物理学における剛体運動などの分野で多用される積分です。たとえば $n=1$ のときは確率の期待値などを表します。そしてこの...
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畳み込み積分

畳み込み積分(Convolution Integral) 関数 $f(t)$ と $g(t)$ について、   \ によって定義される積分を 畳み込み積分 あるいは 合成積 といいます。* は掛け算ではなく、右辺のような積分を計算する...
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フーリエ変換(非周期関数の展開式)

フーリエ変換 周期 $2L$ をもつ関数 $f(x)$ は離散係数 $c_n$ を用いて   \c_n&=\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t)\exp\left(\frac{-in\pi t}{L}\right)\...
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フーリエ級数

フーリエ級数 $a\leq x\leq b$ で定義された正規直交関数系   \ を用意します。すなわちこの関数列は互いの内積について   \ という関係を満たしています(* は共役複素数です)。ただし $\delta_{mn}...