数学公式集

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定数係数 2 階斉次方程式

  2 階線形微分方程式 (Second order linear differential equation)   標準形方程式の解 (Solutions of canonical form)   斉次方程式の解 (Solutions...
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完全微分型方程式

完全微分型方程式 次のような微分方程式を考えてみます。   \  これは変数分離によって簡単に解くことができますが、ここでは少し違ったやり方で解いてみます。両辺に $dx$ をかけると   \ となります。左辺をじっと見つめると...
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非線形方程式の線形化(ベルヌーイ方程式)

ベルヌーイ方程式 Bernoulli's equation 次の形の方程式を ベルヌーイ方程式 といいます。   \  これは非線形方程式ですが、変数変換することで線形方程式に帰着することができます。両辺を $y^k$ で割ると  ...
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定数変化法と代入法

定数変化法と代入法 次のようなタイプの微分方程式   \ を 1階線形常微分方程式 といいます。この方程式を解くためには、まず $q(x)=0$ とおいた 斉次方程式 (homogeneous equation) の解 (斉次解:ho...
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直交曲線族を見つけます

直交曲線族 $A$ を任意定数とすると $y=Ax$ は下図のような直線群となります。    この直線群に含まれる 全ての直線に対して直交する曲線群 を探してみます。勘の鋭い人なら上の図を見ただけで発見できるかもしれません。$y...
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ベルヌーイらせん(等角螺旋)

  ベルヌーイらせん Bernoulli Spiral   同次型微分方程式の解の極座標表示 ベルヌーイらせん Bernoulli Spiral 次のような微分方程式を考えます。   \  これは同次型なので、$y=ux$ とおく...
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同次式の定義と同次型方程式の解法

同次式 二変数関数 $f(x,y)$ について   \ が成り立つとき、この関数は 同次式 であるといいます。たとえば $x^2+y^2$ は   \ となるので同次式です。多項式において全ての項の次数が等しければ (A) が成...
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微分方程式(階数分類、一般解、特殊解、初期値問題)

微分方程式 (Differential Equation) 連続変数 $x$ の関数 $y(x)$ について、$n$ 次の導関数を $y^{(n)}$ としたとき、   \ という形の等式を 微分方程式 とよびます。微分方程式に含まれ...