数学公式集

数学公式集

ネイピア数 e の定義と無理数であることの証明

ネイピア数 Napier's Number ネイピア数 (Napier's number) は次のように定義されます。   \  $a_n=(1+1/n)$ に n の具体的な値を入れると \a_{100}=2.70481\\a_{...
数学公式集

アルキメデスの原理

アルキメデスの原理 Archimedean Property 上に有界な単調増加数列が収束する という定理から次の アルキメデスの原理 を導くことができます。  任意の正の実数 $a,\:b$ について、$na \gt b$ を満たす自然...
数学公式集

上に有界な単調増加数列は収束します

  数列の有界性 Bounded   実数の連続性 Continuity of Real Number   上に有界な単調増加数列は収束します 数列の有界性 Bounded すべての $n$ について $a_n \leq c$ となる...
数学公式集

ライプニッツの公式

 ライプニッツの公式 とよばれる定理は二種類あって、ひとつは関数の積 $f(x)g(x)$ の $n$ 階微分の一般表式 (ライプニッツ則)、もうひとつは円周率の値を求める級数(グレゴリー・ライプニッツ級数)です。この記事では両方を説明しま...
数学公式集

C^n 級関数 (連続と不連続、滑らかさの度合い)

連続と不連続 下図のように、関数 $f(x)$ が定義された区間内に 1 点 $a$ をとります。    $x$ を限りなく $a$ に近づけたとき、つまり $|x-a| \rightarrow 0$ であるときに、$|f(x...
数学公式集

合成関数と逆関数の微分公式

合成関数の微分公式 微分可能な関数 $y=f(z),\:z=g(x)$ があって、合成関数 $y=f(g(x))$ の微分は次のように計算できます。   \  これは 鎖の法則 (chain rule) とよばれ、微積分全体にわたって...
数学公式集

[Excel] 双曲線関数 (COSH, SINH, TANH)

 この記事で扱う Excel データは Hyperbolic.xlsx ファイルに入っています。  ≫ Hyperbolic ブックをダウンロード 双曲線関数 双曲線正弦関数 (hyperbolic cosine) と 双曲...
数学公式集

はさみうちの原理を用いて無限数列の極限値を求めます

 普通の計算手法では困難な極限計算も、はさみうちの原理 によって解決する場合があります。微分積分の重要な公式の多くもこの原理によって証明されています。 はさみうちの原理 数列の極限値については以下の大小関係が成り立ちます。  任意の $...