数学公式集

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部分積分法と置換積分法

部分積分法 積の微分公式   \'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\] の両辺を積分すると   \ となるので、次の 部分積分法 (integration by parts) の公式を得ることができます。   \ ...
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二次方程式の解の公式と判別式

解の公式 実数係数の2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の解は   \ です。ここに D は   \ で表され、解の個数は D の符号によって   D > 0  ⇔  異なる実数解をもつ   D = 0  ...
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整式の剰余定理と因数定理

剰余定理【剰余定理①】  \(x\) の多項式 \(P(x)\) を1次式 \(x-\alpha\) で割ったときの余りは \となります。 【剰余定理①の証明】\(P(x)\) を \(x-\alpha\) で割ったときの商を \(Q...
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解と係数の関係

解と係数の関係 二次方程式の係数と解の間には次のような関係があります:  二次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の2解を $\alpha,\;\beta$ とすると、 \ が成り立つ。 【定理の証明】解の公式を用いると \(ax...
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三角不等式(三角形の2辺の和は、他の1辺より大きいことを証明します)

三角不等式 Triangle inequality 一般に2つのベクトル \(\vec{a},\:\vec{b}\) について   \ |\vec{a}-\vec{b}| \geq |\vec{a}|-|\vec{b}| \tag{2...
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コーシー・シュワルツの不等式(判別式を用いて証明します)

シュワルツの不等式 Schwarz's inequality 任意の実数 \(a_i, b_i\) について   \ が成立します。等号は   \ のときに成り立ちます。この関係を シュワルツの不等式 (Schwarz's in...
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高次不等式の解き方

 式の中に含まれる項のうち、最大次数が $n$ であるような不等式のことを 高次不等式(inequality of higher degree) とよびます。以下で色々な高次不等式の解き方を解説します。   2 次不等式 Quadrat...
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オイラーの公式とド・モアブルの定理

オイラーの公式 (Euler's formula) オイラーの公式 は指数関数と三角関数、虚数単位を一つに結びつける式です。   \  (1) で $\theta=\pi$ とすると、有名な オイラーの等式   \ を得ます。 ...