数学公式集

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角度の測り方(度数法と弧度法)

度数法 Degree Measure 図のように、任意の半径の円周上に動点 $P$ をとります。    基準線 $OX$ の位置から測った線分 $OP$ の 反時計回りの回転量 $\theta$ を 角度 (angle) と定義...
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場合の数(樹形図・積の法則・和の法則)

樹形図 1 枚の硬貨を続けて 3 回投げて、少なくとも 2 回表が出るケースは何通りあるでしょうか。「少なくとも 2 回」ということは、「 3 回続けて表が出る」というケースも含みます。1 回目は表と裏の 2 通りです。そして 1 回目が表...
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加法定理の証明

加法定理 加法定理は x + y や x - y を変数とする三角関数を cosx や siny など単独変数の三角関数に分離する公式です。   \ \mathrm{sin}(x-y)=&\mathrm{sin}x\mathrm{co...
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倍角公式と半角公式の証明

  倍角公式 Double-angle formula   半角公式 Half-angle formulas  倍角公式 Double-angle formula ある角度 θ に対する 倍角 2θ は次のように関連付けられます。 ...
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和積の公式を1つに集約します

 三角関数の和積の公式をより簡潔に表す方法を発見したので紹介しておきます。  (複素数 z を用いた一般的な表式は記事の後半に載せてあります)   \  i は虚数単位ですから複素数形式になっています。  実数部を取れば和を、虚数...
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行列形式による和と差の公式の証明

 高校数学の中でも、三角関数の 和と差の公式 は特に覚えにくい公式ですね。しかし行列形式を用いると次のように簡潔な式で表されます。   \  ここで \(\tilde{E}\) は単位行列、 \(\tilde{I}\) は行列で表され...
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x/sinx の極限値

x/sinx の極限値 三角関数の極限値については次のような公式が知られています。   \ &\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\mathrm{tan}x}{x}=1\tag{2}\\ &\lim_{x\righ...
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対数関数の微分と積分

 この記事では 対数関数 $\log{x}$ の微分と積分ついて解説します。 対数関数の導関数 対数関数の微分 については次のような公式が知られています。   \ 【(1)の証明】(1) 微分の定義にしたがって証明します。   ...
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