数学公式集

数学公式集

場合の数(樹形図・積の法則・和の法則)

樹形図 1 枚の硬貨を続けて 3 回投げて、少なくとも 2 回表が出るケースは何通りあるでしょうか。「少なくとも 2 回」ということは、「 3 回続けて表が出る」というケースも含みます。1 回目は表と裏の 2 通りです。そして 1 回目が表...
数学公式集

加法定理の証明

加法定理 加法定理は x + y や x - y を変数とする三角関数を cosx や siny など単独変数の三角関数に分離する公式です。   \ \mathrm{sin}(x-y)=&\mathrm{sin}x\mathrm{co...
数学公式集

倍角公式と半角公式の証明

  倍角公式 Double-angle formula   半角公式 Half-angle formulas  倍角公式 Double-angle formula ある角度 θ に対する 倍角 2θ は次のように関連付けられます。 ...
数学公式集

和積の公式を1つに集約します

 三角関数の和積の公式をより簡潔に表す方法を発見したので紹介しておきます。  (複素数 z を用いた一般的な表式は記事の後半に載せてあります)   \  i は虚数単位ですから複素数形式になっています。  実数部を取れば和を、虚数...
数学公式集

x/sinx の極限値

x/sinx の極限値 三角関数の極限値については次のような公式が知られています。   \ &\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\mathrm{tan}x}{x}=1\tag{2}\\ &\lim_{x\righ...
数学公式集

対数関数の微分と積分

 この記事では 対数関数 $\log{x}$ の微分と積分ついて解説します。 対数関数の導関数 対数関数の微分 については次のような公式が知られています。   \ 【(1)の証明】(1) 微分の定義にしたがって証明します。   ...
数学公式集

不等号の定義と不等式の性質

不等号の定義と不等式の解き方 この記事では数学における不等号の扱い方と不等式の解き方を解説します。 不等号 数学では実数の大小(順序)を表すために 不等号 (sign of inequality) とよばれる記号を用います。  $a\g...
数学公式集

πが無理数であることの証明

 円周率 $\pi$ は $\sin{\pi}=0,\ \cos{\pi}=-1$ であると定義して、円周率が無理数である ことを証明します。 円周率が無理数であることの証明 まず次のような関数を定義します。   \ 定義から明らか...