数学公式集

サイクロイド曲線（擺線）半径 $a$ の円が定直線上を滑らないで転がるとき、この回転円の定点 $P$ が描く曲線の軌跡を サイクロイド曲線（cycloid） あるいは擺線（はいせん） とよびます。サイクロイド曲線はトロコイド（余擺線）とよば...

アステロイド曲線アステロイド曲線（asteroid）はギリシア語の「星のような形」に由来する図形で、星芒形あるいは星形ともよばれます。また４つの尖点を持つことから、四尖点形（tetracuspid）の名称でよばれることもあります。アステロイ...

素数の原始根位数について復習しておきます。位数とは \ となるような最小の正整数 $k$ であり、 \ と表しました。ここで素数 $p$ についてはフェルマーの小定理 \ が成り立っています。このとき、もし $p-1$ が上の合同式を満たす...

新しい章に入りました。今回からは位数や原始根について調べていきます。 位数の定義$a^k$ を $7$ で割ったときの余りを並べた表を再掲します。 フェルマーの小定理によれば、 \ が成り立ちます（表では $1$ が並んでいます）が、もちろ...

フェルマーの小定理$7$ を法とする整数 $a$ のベキ乗、すなわち \ なる $x$ を計算して表に並べてみます。 $k$ が $6$ のところで $1$ が揃っています。つまり \ が成り立っているということです。前回学んだオイラーの定...

既約剰余系$m$ を法とする剰余系の１つを \ とします。この集合の要素の中から $m$ と互いに素であるものだけを集めた集合を $m$ を法とする 既約剰余系 といいます。オイラーの関数 $\varphi(m)$ は既約剰余系の要素の個数...

メビウス関数の定義任意の自然数 $n$ の約数すべてにわたって和をとったときに $0$ になるような関数 $f(n)$ があれば、数論にとって非常に有用な関数となります。1831 年、メビウスの輪で有名なドイツの数学者メビウス（August...

今回は数論の中でも極めて重要な役割を担うオイラー関数（オイラーのφ関数）について解説します。 オイラー関数（オイラーのφ関数）【定義D3】正整数 $n$ と互いに素な $n$ 以下の正整数の個数を $\varphi (n)$ と書き、これを...