数学公式集

約数関数の定義【定義D2】ある自然数 $n$ について、全ての約数のべき乗を足し加えたものを約数関数（divisor function）と定義する： \ べき関数 $f(n)=n^k$ は \ という関係を満たすので乗法的関数です。したがっ...

乗法的関数の定義今回から整数論的関数を扱います。 まず最初に 乗法的関数 を次のように定義します。 【定義D1】正の整数 $a,\;b$ について \が成り立つような関数を乗法的関数（multiplcative function）と定義する...

正三角形の基本正三角形 (equilateral triangle)は三辺の長さが全て等しい三角形です。 内角も全て等しく、 \ となっています。周の長さは $3a$ です。 正三角形の面積辺の長さが有理数（分数で表せる数）であれば、点 $...

乗算表（乗法表）ある法 (mod) における剰余類ごとの掛け算をまとめた乗算表（乗法表）を用意しておくと計算するときに便利です。特に合同式の割り算をするときには重宝します。$\mathrm{mod}\;7$ における乗算表は次のようになりま...

整数環のイデアルと剰余環（単位元をもつ可換環）$m$ を整数とするとき、$m$ の倍数の集合を \ と書きます。たとえば偶数全体の集合は \ のように表されます。また整数全体の集合 $\mathbb{Z}$ を \ という同値関係で偶数集合...

整数の合同と不合同1 に 7 を加えながら数字を並べてみます。 \ 並べた数字はいずれも 7 で割ると 1 余ります。そこで、これらは同じ種類の数であると考えて $\equiv$ という記号で結ぶことにします。 \ このように $\equi...

数論は主に整数を扱いますが、その定理が整数以外の数の重要な性質を明らかにすることもあります。その一例が素因数分解による無理数性の証明です。厳密には素因数分解の一意性が前提となっています。 √2が無理数であることの証明たとえば $\sqrt{...

素数は無限に存在します素数が無限に存在することは、今から 2000 年以上も昔に証明されています。ユークリッドの『原論』第9巻命題20には驚くほど簡単な証明法が載せられています。 【定理B7】素数は無限に存在する【証明①】ユークリッド『原論...