数学公式集

二階線形微分方程式一般に次のような形の微分方程式 \ を 定数係数二階線形微分方程式 とよびます ($p,\:q$ は定数)。また上式で $r(x)=0$ とした方程式 \ を斉次方程式（homogeneous equation）といい、さ...

完全微分型方程式次のような微分方程式を考えてみます。 \ これは変数分離によって簡単に解くことができますが、ここでは少し違ったやり方で解いてみます。両辺に $dx$ をかけると \ となります。左辺をじっと見つめると、これは $xy$ の全...

ベルヌーイ方程式次の形の方程式をベルヌーイ方程式といいます。 \ これは 非線形方程式ですが、変数変換して、線形方程式に帰着することができます。両辺を $y^k$ で割ると \ ここで $(y^{1-k})'=(1-k)y^{-k}y'$ ...

定数変化法と代入法次のようなタイプの微分方程式 \ を一階線形常微分方程式といいます。この方程式を解くためには、まず $q(x)=0$ とおいた斉次方程式（homogeneous equation）の解（斉次解）を求める必要があります。 斉...

直交曲線族$A$ を任意定数とすると $y=Ax$ は下図のような直線群となります。 この直線群に含まれる全ての直線に対して直交する曲線群を探してみます。勘の鋭い人なら上の図を見ただけで発見できるかもしれません。$y=Ax$ に直交する曲線...

ベルヌーイらせん(Bernoulli Spiral)次のような微分方程式を考えます。 \ これは同次型なので、$y=ux$ とおくと $y'=u+xu'$ なので \ となります。変数分離すると \ すなわち \ 両辺を積分すると \ 変数...

同次式二変数関数 $f(x,y)$ について \ が成り立つとき、この関数は 同次式 であるといいます。たとえば $x^2+y^2$ は \ となるので同次式です。多項式において全ての項の次数が等しければ (A) が成り立つのは明らかです。...

微分方程式連続変数 $x$ の関数 $y(x)$ について、$n$ 次の導関数を $y^{(n)}$ としたとき、 \ という形の等式を 微分方程式 とよびます。微分方程式に含まれる最高階数の導関数に着目し、その階数が $n$ , 次数が ...