数学公式集

順列a, b, c, d, e という 5 つのアルファベットから 3 つの文字を選んで並べます。ただし文字を重複して選ぶことはしないものとします。その並べ方は何通りあるでしょう。 図のように空白のマス目を使うとイメージしやすいです。 まず...

陽関数一変数関数が $y=f(x)$ の形で表されるとき、$y$ を $x$ の 陽関数 (explicit function) であるといいます。たとえば \ などと書かれたとき、$y$ は $x$ の陽関数です。同様に二変数関数が $z...

二変数関数の微小変化$z=f(x,y)=x^2+y^2$ において、変数 $(x,\:y)$ を点 $(1,\:1)$ から $(1.1,\:1.1)$ まで変化させたときに、$z$ がどの程度変化するのか計算してみます。 \&=1+0.2...

曲線の長さ（弧長）下図のように区間 $$ を $n$ 個の小区間に分割します。 $\Delta x=x_k-x_{k-1}$ が十分に小さければ、弧長 $P_{k-1}P_k$ は線分 $P_{k-1}P_k$ で近似できます。$\Delt...

調和級数$a_n=1/n$ を順に足し加えていく級数を調和級数 (harmonic series)とよびます。 \ 調和級数は発散します。以下に 2 通りの証明を載せておきます。 調和級数が発散することの証明①級数の各項を $1$ 個、$2...

ある条件のもとで交代級数が収束することを示し、また絶対収束と条件収束の定義について解説します。　 交代級数各項の符号が交互に入れ替わる次のような無限級数を考えてみます。 \ これだけ見ても、足される部分と引かれる部分の寄与の大きさがわからず...

グレゴリー級数・マチン級数逆正接関数（アークタンジェント）の級数展開を求め、円周率の近似値を計算する式（グレゴリー級数とマチン級数）を導きます。 逆正接関数の級数展開逆正接関数を級数展開するために、まずは $f(x)=1/(1-x)$ を展...

二変数関数二変数 $(x,\:y)$ の組に対して $z$ の値が決まるとき、$z$ は $x$ と $y$ の関数 (function) といい、 \ と表します。ここで $x$ と $y$ を独立変数 (independent vari...