数学演習と解答

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【Excel】sin19° と (cos55°)^3 を計算します

3604990 と 92631 の最大公約数(1) 3604990 と 92631 の最大公約数を求めてください。 (2) 72, 544, 1168 の最小公倍数を求めてください。 【ヒント】最大公約数と最小公倍数のことを英語で...
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不連続点を取り除いた関数

【CL24】不連続点を取り除いた関数 関数 $f(x)$ を次のように定義します。 \ 区間 $-\pi/2 \leq x \leq \pi/2$ で $f(x)$ が単調増加であることを示してください。(山梨大一部改) 【ヒント】...
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直円錐の体積が最大となる高さと底面半径の比

【CL22】直円錐の体積が最大になるような高さと底面半径の比 表面積が一定の 直円錐 の 体積を最大 にするように、高さと底面の半径の比 を定めてください。 【ヒント】簡単そうに見えて案外手こずる問題です。「何をするか」で迷うことはあ...
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直円柱の表面積を最小にする直径と高さの比率

【CL21】円柱の表面積を最小にする直径と高さの比率 直円柱 の体積を一定に保つとき、その 表面積が最小 となるような 直径と高さの比率 を求めてください。 【ヒント】缶詰もこういう設計にすれば材料コストを抑えられます。だからといって...
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存在定理で不等式 |sinα – sinβ|≦|α – β| を証明します

【CL20】不等式 |sinα - sinβ|≦|α - β| の証明 平均値の定理を使って不等式 \が成り立つことを示してください。(東京農工大一部改) 【ヒント】とりあえずこういう不等式を見たら具体的な数値で確認してみましょう(...
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有理数の解は整数のみです

【NT30】有理数の解は整数のみであることを示します $p,\:q$ を整数として $f(x)=x^2+px+q$ とおきます。  (1) 有理数 $a$ が $f(x)=0$ の 1 つの解ならば、$a$ は整数であることを示してくださ...
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どの 2 数の和も残りの数で割ると 1 余ります

【NT29】どの 2 数の和も残りの数で割ると 1 余ります 相異なる自然数 $a,\:b,\:c\: (a \lt b \lt c)$ があって、どの 2 つの和も残りの数で割ると 1 余ります。  (1) $a+b$ を $c$ で割...
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p^q=q^p+7 を満たす素数の組

「NT28】条件を満たす素数の組を求めます(1) 6 以上の整数 $n$ に対して不等式 $2^n \gt n^2+7$ が成り立つことを数学的帰納法で示してください。 (2) $p^q=q^p+7$ を満たす素数の組 $(p,\:q)$...