数学演習と解答

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x^2+y^2=3 を満たす有理数は存在しない?

【NT26】x^2+y^2=3 を満たす有理数は存在しません(1) $a,\:b$ を整数とします。$a^2+b^2$ が $3$ で割り切れるならば、 $a$ と $b$ はともに $3$ で割り切れることを示してください。 (2) $...
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f(x)=exp(-x)cosx の極値

【CL19】極値をとる条件と無限級数(1) $f(x)=g(x)\,e^{-x}$ が $x=a$ で極値をもつ条件を $g(a),\:g'(a),\:g^{\prime\prime}(a)$ を使って表してください。 (2) $f(x)...
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【証明問題】(a,b)=1 ならば (a+b,a-b,ab)=1

【NT24】(a,b)=1 ⇒ (a+b,a-b,ab)=1 の証明 整数 $a,\:b$ の最大公約数が $g$ であることを $(a,\:b)=g$ のように表し、$a,\:b,\:c$ の最大公約数が $h$ であることを $(a,\...
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n^2+3が2n+1の倍数になるような自然数n

【NT23】倍数になるような自然数nを求めます $n^2+3$ が $2n+1$ の倍数になるような自然数 $n$ をすべて求めてください。 【ヒント】正攻法で解けますが、式変形にちょっとコツがいります。   【解答の準備】今...
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n^2と2n+1が互いに素であることを証明します

【NT22】互いに素であることの証明 $n$ を自然数とします。  $n^2$ と $2n+1$ が互いに素であることを示してください。(一橋大) 【ヒント】$a$ と $b$ の最大公約数を $(a,\:b)$ で表すと、$(a,...
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極大値の移動曲線(極大値の変化を調べます)

【CL18】極大値の移動曲線(1) $n$ を自然数とします。次のように定義される関数 \ の極大値の座標 $(x_n,\:y_n$) を求めて、グラフの概形を描いてください。  以下の極限公式は既知とします。 \ (2) 極限...
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無限級数で表される関数

【CL10】無限級数関数のグラフ 無限級数で定義された関数 \のグラフの概形を描いてください。   【ヒント】今回はやさしい問題です。不連続点は明示してください。   【解答】$f(x)$ は公比 $1/(1+x^2)$ の等...
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自然数と実数を関連づけて極限値を求めます

【CL09】二項定理を使って極限値を求めます 1 より大きな実数 $a$ について $a=1+p$ とおきます。二項定理 \を用いて $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x}{a^...