数学事典(定理・公式・概念)

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 ≫ 初等整数論についてはこちらにまとめてあります(現在定期連載中)
 

数学一般

 自然数の定義(ペアノの公理) 集合と要素の数
 命題と真偽 論理積と論理和、ド・モルガンの法則
 円周率が無理数であることの証明
 ネイピア数 e の定義および収束の証明/無理数であることの証明
 複素数とガウス平面(複素数平面)/オイラーの公式/複素数の行列による表現
 度数法と弧度法 階乗と二重階乗 周期関数

平面幾何学

 直線と線分 円の面積/円周の長さ 扇形の弧長と面積

代数学

 不等式の性質と1次不等式
 2次方程式の解の公式 実係数2次方程式の複素数解  解と係数の関係
 整式の剰余定理/因数定理 相加平均と相乗平均 三角不等式
 x n - y n の因数分解 クラメルの公式  シュワルツの不等式

幾何学

 正三角形の性質 サイクロイド アステロイド

確率統計

 場合の数(樹形図・和の法則・積の法則)
 順列(円順列/同じものを含む順列/重複順列) 組合せ/重複組合せ
 パスカルの三角形/2 項定理/多項定理 道順の個数
 確率の定義(事象/標本空間) 加法公式・排反事象・余事象
 条件つき確率/乗法定理 反復試行 確率変数と確率分布
 確率密度/累積分布関数 期待値/分散 チェビシェフの不等式
 2 項分布(ベルヌーイ分布) ポアソン分布  正規分布/標準正規分布
 母集団と標本 無作為抽出 標本の整理 最小2乗法
 変動係数CV

三角関数/逆三角関数/双曲線関数

 加法定理  倍角公式/半角公式  和積の公式  三角関数の合成化
 三角関数の極限値 三角関数の微分積分
 三角関数 2 乗積分/三角関数 3 乗積分 xsinx と xcosx の積分
 逆三角関数の定義と基本的な性質  逆三角関数の微分公式
 ライプニッツ級数/マチン級数
 双曲線関数の基本公式/微分積分

数列と級数

 数列の基本  等差数列と等差級数  等比数列と等比級数
 Σk(k + 1), Σk(k + 1)(k + 2)  階差数列
 はさみうちの原理  公比による収束判定  αn/n! の極限値
 数列の有界性と、上に有界な単調増加数列の収束
 アルキメデスの原理
 区間縮小法/ボルツァノ - ワイエルシュトラスの定理
 交代級数/絶対収束級数/条件収束級数  調和級数/交代調和級数
 漸化式  3項間漸化式とフィボナッチ数列

微分積分・解析学

[1 変数関数]
 連続と不連続 微分係数と導関数 n 階導関数とライプニッツの公式
 ロールの定理/平均値の定理/コーシーの平均値の定理
 ロピタルの定理 極大値/極小値の判定
 積の微分公式 商の微分公式 合成関数と逆関数の微分公式
 マクローリン級数  テイラー級数
 不定積分 対数関数の微分積分(logx の微分積分、logx/x の積分など)
 部分積分法と置換積分法 広義積分 曲線の長さ

[2 変数関数]
 2 変数の関数  偏微分  全微分  合成関数の微分公式
 陽関数と陰関数

[積分公式]
 exp(-x^2) の積分  xn/m の積分  無理関数の微分積分
 exp(x)sinx と exp(x)cosx の積分  1 / (x2 - a2) の積分

微分方程式

 微分方程式の概要 変数分離型 ロジスティック・モデル
 同次型方程式 ベルヌイらせん 直交曲線族
 1階線形微分方程式 完全微分型方程式 2 階斉次方程式

フーリエ解析

 フーリエ級数  実係数のフーリエ級数展開  フーリエ変換
 畳み込み積分  モーメント定理/ガウス関数のフーリエ変換
 パーセバルの定理/ウィーナー・ヒンチンの定理

特殊関数

 ガンマ関数の定義と解析接続  exp(-ax^2)x^k の積分
 超関数/ディラックのデルタ関数

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準公式もたくさん載っています

 「教科書には載っていないけど知っておくと便利だよ」という準公式も紹介しています。もちろん正規の公式に比べると使う頻度は少ないですけど、「覚えておいて損はないよ」というものを選んで集めてあります。他の人が知らない公式をたくさんを知っていれば、試験で大いに時間を節約することができます。たとえばちょっと計算に工夫が必要な対数計算の積分などは色々な計算で頻出しますから、いっそ覚えてしまったほうがいいんです。そうすることで面倒な積分の手間をひとつ減らせます。受験生の皆さんには入試対策にもなりますし、大学生の皆さんにはもっと役立ちます。理工学部では数学や物理の講義でたくさん積分を計算しますよね。もう、うんざりするほどやります。フーリエ変換や微分方程式の講義なんて、ほとんど全部が積分です。まあ、そこでも部分積分や置換積分なんてことをまたコツコツやるわけなんですけど、こんな機械的な作業にばかり気をとられていると、「ええと、自分は今何をしようとしていたんだっけ!?」てな感じで焦点がぼやけます。しなくてすむ計算なら、しないほうがいいんです。そこで節約した時間をもっと本質的な理解や研究のために使いましょう。

 あ、ちなみに高校生の皆さんは「じゃあ大学に入ってから覚えよう」とか思わないほうがいいですよ。今できることは、今やっておきましょう。20 歳過ぎると、年を1つとるたびに暗記力は落ちていきますよ? 本当ですよ? 物事を分析する高度な思考力などはまだまだ伸びますけど、ストレートな記憶力となると、やっぱり 10 代の頃が最盛期だと思います。はあ。あの頃は良かったなあ ......

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